Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ44

Конкурсная задача ММ44 (3 балла)

Решить в натуральных числах:
xy = (x + y)x (1)

Решение

Ясно, что y > x > 1 (натуральный ряд начинается с 1).
Пусть простое число p входит в каноническое разложение x в степени s, а в каноническое разложение x+y - в степени t. Приравнивая показатели p в левой и правой частях (1), получаем пропорцию s/t = x/y. Поскольку это отношение одинаково для всех простых делителей, x и x+y являются натуральными степенями одного и того же натурального числа a. Пусть x = am, x+y = an. Обозначим k = n-m. На основании (1) имеем am(a^n - a^m) = ana^m. Следовательно, m(ak - 1) = n = m + k. Т.е. m = k/(ak - 2). В силу того что экспонента растет быстрее линейной функции, последее равенство может выполняться для натуральных a, m, k лишь при небольших значениях.
При a = 4 ak-2 > k уже при k = 1.
При a = 2 годится k = 2, откуда m = 1, n = 3, x = 2 и y = 6.
При a = 3 подходит k = 1, откуда m = 1, n = 2, x = 3 и y = 6.
Ответ: {(2, 6), (3, 6)}

Награды

За правильное решение этой задачи Олег Полубасов, Константин Кноп, Владимир Трушков, Андрей Богданов, Андрей Винокуров, Александр Прудаев, Андрей Бежан, Влад Франк и Владимир Марунин получают по три призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 2.8 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_44]]

marathon/problem_44.txt · Последние изменения: 2016/03/04 11:22 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006