|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ5Конкурсная задача ММ5 (3 баллов) При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд? Решение
Пусть a - первый член, а d - разность прогрессии.
Ясно, что a и d должны быть взаимно просты. Если d не кратно простому числу p, то числа a, a+d,…, a+(p-1)d бразуют полную систему вычетов по модулю p. Значит, среди них есть ровно одно кратное p. Следовательно, если мы хотим получить 7 простых членов прогрессии подряд, d должно быть кратно 2, 3 и 5, т.е. кратно 30. Обсуждение Отмечу, что следующая семерка простых чисел подряд возникает при d = 210. Наименьшее подходящее a при этом равно 47. Когда я пердлагал эту задачу теорема Грина-Тао (о существовании сколь угодно длинных арифметических прогркссий из простых чисел) еще не была доказана, а самая длинная известная прогрессия насчитывала 23 числа.
На сегодняшний день (4.10.2015) теорема доказана и даже обобщена, а самая длинная прогрессия состоит из 26-и чисел. Награды
За правильное (но частично избыточно информатическое) решение задачи Борис Бух получает 2 призовых балла.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|