|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ54Конкурсная задача ММ54 (3 балла) Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон. Решение Приведу решение, данное Виктором Филимоненковым. 1. Максимум площадей четырехугольников с данными сторонами и порядком их следования достигается на выпуклом четырехугольнике. Действительно, если в четырехугольнике есть угол, больше развернутого, отобразим две стороны, составляющие этот угол, относительно прямой, проходящей через не общие концы этих сторон. Получится четырехугольник с тем же порядком следования сторон, содержащий исходный невыпуклый четырехугольник, то есть больший по площади. 2. Обозначим M(a,b,c,d) наибольшую площадь четырехугольников со сторонами a,b,c,d и указанным циклическим порядком сторон (скажем, по часовой стрелке). Докажем, что от перестановки порядка следования любых двух соседних сторон эта наибольшая площадь не меняется. Например, докажем, что M(a,b,c,d) = M(a,b,d,c). Действительно, возьмем четырехугольник со сторонами a,b,c,d и указанным порядком сторон, на котором достигается максимум M(a,b,c,d). Отразим стороны c и d относительно серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющего не общие концы сторон c и d. Поскольку по п.1 выбранный четырехугольник выпуклый, то полученная фигура тоже будет четырехугольником, причем той же площади M(a,b,c,d), но уже с порядком следования сторон a, b, d, c. Таким образом, M(a,b,c,d) ≤ M(a,b,d,c). Но аналогично M(a,b,c,d) ≥ M(a,b,d,c). 3. Осталось заметить, что с помощью таких транспозиций соседних сторон мы можем получить любой порядок следования сторон. Oбсуждение
Объясню, как попала в марафон эта задача. Награды За правильное решение этой задачи Влад Франк, Виктор Филимоненков и Иван Козначеев получают по 3 призовых балла. Эстетическая оценка задачи - 3 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|