Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ54

Конкурсная задача ММ54 (3 балла)

Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон.

Решение

Приведу решение, данное Виктором Филимоненковым.

1. Максимум площадей четырехугольников с данными сторонами и порядком их следования достигается на выпуклом четырехугольнике. Действительно, если в четырехугольнике есть угол, больше развернутого, отобразим две стороны, составляющие этот угол, относительно прямой, проходящей через не общие концы этих сторон. Получится четырехугольник с тем же порядком следования сторон, содержащий исходный невыпуклый четырехугольник, то есть больший по площади.

2. Обозначим M(a,b,c,d) наибольшую площадь четырехугольников со сторонами a,b,c,d и указанным циклическим порядком сторон (скажем, по часовой стрелке). Докажем, что от перестановки порядка следования любых двух соседних сторон эта наибольшая площадь не меняется. Например, докажем, что M(a,b,c,d) = M(a,b,d,c). Действительно, возьмем четырехугольник со сторонами a,b,c,d и указанным порядком сторон, на котором достигается максимум M(a,b,c,d). Отразим стороны c и d относительно серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющего не общие концы сторон c и d. Поскольку по п.1 выбранный четырехугольник выпуклый, то полученная фигура тоже будет четырехугольником, причем той же площади M(a,b,c,d), но уже с порядком следования сторон a, b, d, c. Таким образом, M(a,b,c,d) ≤ M(a,b,d,c). Но аналогично M(a,b,c,d) ≥ M(a,b,d,c).

3. Осталось заметить, что с помощью таких транспозиций соседних сторон мы можем получить любой порядок следования сторон.

Oбсуждение

Объясню, как попала в марафон эта задача.
Обычно, я стараюсь помещать в марафон авторские задачи. Что же касается этой, то ее частный случай (с конкретными a, b, c, d) встретился мне на какой-то олимпиаде, для девятиклассников. В комментарии для проверяющих было сказано: «Можно доказать, что и при произвольных a, b, c, d максимум площадей не зависит от порядка следования сторон. Но доказательство этого факта требует техники, недоступной девятиклассникам».
В то же время, приведенное доказательство по технике доступно и семиклассникам. (Это не означает, что рядовой семиклассник до него додумается.) Мне захотелось проверить, на какой математический аппарат предпочтут опереться марафонцы.
На задачу откликнулись трое марафонцев. Один из них привел доказательство с использованием более изощренной техники, другой - приведенное выше, а третий - сразу два доказательства.
Таким образом, счет 2:2.

Награды

За правильное решение этой задачи Влад Франк, Виктор Филимоненков и Иван Козначеев получают по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_54]]

marathon/problem_54.txt · Последние изменения: 2016/03/27 11:58 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006