|
||||||||||||||||||
|
Содержание62Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача №62 (6 баллов)
Тетраэдр, имеющий площадь поверхности S, сумму длин ребер L, сумму
двугранных углов U и сумму трехгранных углов W, рассекли плоскостью на
два тетраэдра. Примечания: Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. Каждый пункт представляет собой самостоятельную задачу. То есть выражать, например, возможные значения U1 + U2 надо только через U, без учета других характеристик исходного тетраэдра. Трехгранные углы тетраэдра измеряются в стерадианах. (Полный телесный угол равен 4*Pi стерадиан). Решение Приведу решение в изложении Олега Полубасова. Обозначим рёбра тетраэдра буквами a-f. Будем считать, что рассекающая плоскость содержит ребро a граней abc и и ade и пересекает противолежащее ему ребро f. Так как при разрезании добавляются новые грани и рёбра, а старые не исчезают, то площадь и сумма длин рёбер могут только увеличиваться. S < S1 + S2 L < L1 + L2 Сколь угодно близкое приближение к равенству получим, взяв пирамиду с очень маленьким основанием и очень большой высотой и проведя разрез очень близко к основанию. Площадь любой грани невырожденного тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных граней, поэтому сумма площадей двух добавленных граней меньше суммы площадей остальных граней, то есть S1 + S2 < 2*S. Выбрав пирамиду с вершиной, проецирующейся внутрь основания, и очень маленькой высотой и проведя рассекающую плоскость близко к основанию, получим любое приближение к равенству. С суммой длин рёбер интереснее. Сделаем выбор так, чтобы d+e ≤ b+c. Так как a < d+e, b < d+f, c < e+f, то a+b+c < 2*(d+e+f). Тогда (L_1+L_2)/L < (a+b+c+b+c + f + a+b+c+d+e)/(a+b+c+d+e+f) < < 7/3 - 2*a/(a+b+c) < 7/3. Нужное приближение получим, выбрав a, d и e достаточно малыми. Двугранные углы. Угол при ребре a просто разделился на два, в двух боковых гранях появились две пары новых углов с суммой в каждой паре Pi, а угол при ребре f продублировался. То есть U1 + U2 = U + 2*Pi + f. Поскольку 0 < f < Pi, то U + 2*Pi < U1 + U2 < U + 3*Pi. Трёхгранные углы. Углы abd и ace разделились каждый на два, а двугранный угол при ребре f разбился на два трёхгранных угла. Так как телесный угол двугранного угла величиной f радиан равен 2*f стерадиан, то W1 + W2 = W + 2*f. Поскольку 0 < f < Pi, то W < W1 + W2 < W + 2*Pi. Последнее не удивительно, ведь у любого тетраэдра сумма трёхгранных углов численно на 4*Pi меньше удвоенной суммы двугранных углов. Ответ. S < S1 + S2 < 2*S L < L1 + L2 < 7/3*L U + 2*Pi < U1 + U2 < U + 3*Pi W < W1 + W2 < W + 2*Pi Обсуждение Помещая в Марафон эту задачу, я имел в виду решение, приведенное выше, и полагая его достаточно строгим. Однако, Владислав Франк, указал мне на момент, ускользнувший от моего внимания (и внимания большинства марафонцев). Для первых двух пунктов вхождение в ответ любой точки из указанных интервалов очевидно по соображениям непрерывности. Но для остальных пунктов все не так прозрачно. В самом деле, поворачивая, например, грань fce вогруг ребра f, мы будем получать значения x = U1 + U2 в разных точках интервала. Однако при этом будет изменяться и сам этот интервал. Пусть, например, треугольники fce и fbd - равнобедренные с общим основанием f и такие, что высота fbd равна длине f и двое больше высоты fce (обе высоты опущены на f). Тогда, вращая fce вокруг ребра f так, что другранный угол с ребром f будет расти от 0 до Pi, мы изменим значение U от 3*Pi до 2*Pi. При этом x изменяется незначительно и сместится от левого края p = U + 2*Pi до правого края q = U + 3*Pi интервала (U + 2*Pi; U + 3*Pi) преимущественно за счет смещения самого интервала. Сказанное, не означает, что приведенный выше ответ неверен. Но обоснование того, что x может принимать любые значения на интервале (p; q) при любом U, не так очевидно, как казалось (в частности, мне). Приведу набросок рассуждения, показывающего достижимость любой точки интервала (p; q) при любом допустимом U. Значения x, близкие к середине интервала [p; q], при средних же значениях U достигаются на «обычных» тетраэдрах. Рассмотрение «приземистых» тетраэдров, в основании которых лежит треугольник с примерно равными сторонами, показывает, что x может принимать значения, близкие к краям интервала [p; q]: при U, близких к 2*Pi, когда вершина проектируется далеко вне основания; при U, близких к 3*Pi, когда вершина проектируется близко к центроиду основания; при средних значениях U, когда вершина проектирется близко к стороне основания. Средние значения интервала [p; q] при U, близких 2*Pi, достигаются на тетраэдрах, устроенных так: fce и fbd - равные равобедренные треугольники с очень маленьким основанием f, равным a. Наконец, средние значения интервала [p; q] при U, близких 3*Pi, достигаются, на тетраэдрах, устроенных так: fce и fbd - равные равобедренные очень тупоугольные треугольники с основанием f, равным a. Непрерывно деформируя тетрааэдры, указанных выше видов, друг в друга, получим все значения x из диапазонов [p; q] при всех возможных значениях U. Ответ пункта 4 полностью определен ответом пункта 3. Награды
Задача оказалась значительно труднее первой задачи. В присланных
решениях немало ошибок (затруднения вызвали пункты с четными номерами).
Я не снижал оценок за те решения, авторы которых прошли мимо нюансов,
рассмотренных в Обсуждении (я ведь и сам прошел мимо них, когда оценивал
задачу). Вместо этого я добавил поощрительный балл Владиславу Франку,
обратившему мое внимание на тонкости «угловых» пунктов.
Ряд марафонцев прислали чрезмерно краткие решения (а то и вовсе только ответы).
Разумеется, это отразилось на их оценках. Эстетическая оценка задачи - 3.8 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|