Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№67

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача №67 (Л-4) (7 баллов)

Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на суд к своему отцу. Их отец произнес такую речь: - В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации - глупцы не достойны лучшей участи. Но учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, так и лжецы. - А сам-то, кто будешь? - спросил путник - Можно ли тебе доверять? - Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава семейства - Слушай подсказки.

Джан: n составное.
Джин: если n составное, то Джан - рыцарь.
Джон: если n > 92, то n < 67.
Джун: n > 93
Джан: n + 10 простое.
Джин: 2n + 1 составное.
Джон: если n + 10 простое, то и n + 20 простое.
Джун: n не больше суммы квадратов своих цифр.

Помогите путнику выбраться на свободу.

Пpимечания: Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n. Напомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.

Решение

Из речи отца семейства (в частности, из последней фразы) ясно, что он рыцарь.

Из первых реплик Джана и Джина вытекает, что Джин - рыцарь (Джан при этом может быть кем угодно). Значит, число 2n+1 - составное. (1)
Из реплик Джана ясно, что среди чисел n и n+10 ровно одно составное. (2)

Допустим, что Джун рыцарь. Тогда n больше 93 и не больше суммы квадратов своих цифр. Таких чисел всего шесть (легко убедиться, что трех- и более значные числа всегда больше суммы квадратов цифр), но среди них нет ни одного, одновременно удовлетворяющего условиям (1) и (2).

Значит Джун Лжец. Поэтому n не превосходит 93 и больше суммы квдратов своих цифр. Среди таких чисел условиям (1) и (2) удовлетворяют всего три числа 71, 91 и 93.
Если n = 91, то первая фраза Джона истинна (как импликация с ложной посылкой), а вторая ложна.
Если n = 93, то наоборот, вторая фраза Джона истинна, а первая ложна. И лишь при n = 71 обе фразы Джона имеют одинаковые истинностные значения (истина).

Таким образом, отцу семейства 71 год.
Кроме того, ясно, что Джин и Джон - рыцари, а Джан и Джун - лжецы.

Обсуждение

Некоторые конкурсанты, предложившие решения, аналогичные приведенному, дополнили его проверкой, подставвив 71 во все реплики братьев. Этот шаг не является необходимым, поскольку при отсечении остальных ответов были использованы все реплики.

Как и ожидалось, ряд конкурсантов «споткнулись» об импликацию, понимая утверждение «Если А, то В», как «А и В».

Недостатком задачи является возможность решить ее переборно. Для этого надо, исходя из реплик Джуна, сделать вывод, что n не более чем двузначно, а затем просто подставить каждое из чисел, меньших 100, в каждую из реплик. 71 - единственное число, при котором обе реплики каждого из братьев будут иметь одинаковые истинностные значения.

Награды

За правильное решение этой задачи Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Стас Грицюк, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Татьяна Шемелова, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 7 призовых баллов. Алексей Кутузов получает 4, Алекс Кочарин - 3, а Олег Чечулин 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_67]]

marathon/problem_67.txt · Последние изменения: 2013/09/29 12:28 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006