Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ7

Конкурсная задача ММ7 (7 баллов)

На сколько кубов можно разрезать куб?

Решение

Будем называть натуральное число s достижимым, если куб можно разрезать на s кубов.
Если мы можем разрезать куб на s кубов, то можем разрезать его и на s+7 кубов (для этого достаточно заменить один из составляющих кубов на 8 кубиков вдвое меньшего линейного размера).
Таким образом, для решения задачи достаточно в каждом классе вычетов по модулю 7 найти наименьшее достижимое число.
В классе 1 таким числом, разумеется, является сама 1.

Для нахождения достижимых чисел в других классах, заметим, что наряду с s достижимым будет не только s+7, но и все числа вида s+(n3-m3), где n>m. (Для осуществления такого перехода надо разрезать один из составляющих кубиков на n3 кубиков, а затем m2 из них склеить в один.)
В классе 2 достижимо число 58 = 1+(27-8)*3.
В классе 3 достижимо число 38 = 1+(64-27).
В классе 4 достижимо число 39 = 1+(27-8)*2.
В классе 5 достижимо число 75 = 1+(64-27)*2.
В классе 6 достижимо число 20 = 1+(27-8).
В классе 7 достижимо число 77 = 1+(27-8)*4.
Легко видеть, что начиная с числа 71 достижимыми являются все натуральные числа. Для окончательного ответа на задачу, остается доказать, что перечисленные выше числа являются наименьшими достижимыми в своих классах.

Однако здесь мне придется разочаровать одного из самых активных участников марафона (Бориса Буха) - такого доказательства у меня нет.
Естественно нет и 100%-й уверенности, что среди чисел 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51,
3, 10, 17, 24, 31,
4, 11, 18, 25, 32,
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68,
6, 13 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
(для удобства числа перечислены по классам) нет достижимых.
Есть только строгое доказательство недостижимости нескольких малых чисел.

Обсуждение

На самом деле задача ММ7 известна как проблема Хадвигера (1946). (Этот факт стал известен мне уже после того как задача и ее решение были опубликованы в марафоне.)
Вскоре после постановки задачи Скотт нашел, что куб может быть разрезан на любое число кубов, превосходящее 54.
В настоящее время проблема Хадвигера решена окончательно:
Куб нельзя разрезать на 47 кубов и можно разрезать на любое число кубов, большее 47.
Некоторые подробности можно узнать на Wolfram'е
Влад Франк показал мне способ разрезания куба на 51 кубик. Как оно производится легко понять из тождества: 216 = 5*27 + 5*8 + 41*1
Разрезать куб на 54 и 49 частей тоже не слишком сложно.
Способы очевидны из тождеств:
512 = 6*64 + 2*27 + 4*8 + 42*1
и 216 = 4*27 + 9*8 + 36*1.

Награды

За решение задачи, аналогичное изложенному выше, Борис Бух получает 5 призовых баллов. Еще два балла, указанные в цене задачи, предназначались для тех, кто смог бы сократить список недостижимых чисел хотя одно число. За предоставление полного и строгого решения я планировал изыскать дополнительные призовые баллы. Эти баллы не были включены в цену задачи, дабы не отпугнуть и без того робких марафонцев (к тому же я не слишком надеялся, что полное решение будет получено). За решение еще более неполное, чем приведенное выше, Маша Никулина получает 3 три призовых балла.


 

 


Страница: [[marathon:problem_7]]

marathon/problem_7.txt · Последние изменения: 2018/11/22 21:21 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006