Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№80

Конкурсная задача №80 (7 баллов)

Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти треугольники существуют).
Могут ли числа S, S1, S2 и S3 образовывать арифметическую прогрессию.

Примечания: 1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать.
2. Решая эту задачу, я прибегал к помощи математических пакетов.

Решение

Пусть O - точка пересечения медиан AK, BL и CM треугольника ABC и N - середина AO. Тогда треугольник MON подобен треугольнику из медиан с коэффициентом подобия 1/3. Поэтому его площадь - S1/9.
В то же время, легко видеть, что площадь MON равна S/12.
Таким образом для любого треугольника S1 = 0,75*S.

Поскольку в произвольном треугольнике высоты не превосходят соответсвующих биссектрис, а биссектрисы - соответсвующих медиан, логично (больший периметр, конечно, не гарантирует большей площади, но способствует ее увеличению) искать треугольник, у которого S = 4*S3, S1 = 3*S3 и S2 = 2*S3.

Введем декартову систему координат и зафиксируем вершины A(-1; 0) и B(1; 0). Выбирая вершину C(x; y) из области D, задаваемой условиями
x ≥ 0, y > 0, 2x + x2 + y2 ≤ 3, получим по одному представителю из каждого класса подобных треугольников.

Ясно, что S, S1, S2 и S3 - непрерывные функции от x и y (разумеется, S2 и S3 определены не на всей D, т.к. треугольникииз биссектрис и высот существуют не для любого треугольниа).
Условия S2/S = 1/2 и S3/S = 1/4 задают в D некоторые непрерывные кривые. Нам надо выяснить, пересекаются ли эти кривые.

Заметим, что выражения S2/S = 1/2 и S3/S = 1/4 задают не просто кривые, некоторые функциональные зависимости y от х.
В самом деле, при фиксированном х с ростом y (в пределах области D) больший угол (напротив большей стороны AB) треугольника ABC уменьшается, оставаясь при этом бОльшим, а остальные углы растут, что приближает треугольник к равностороннему, в котором S2/S и S3/S максимальны и равны 3/4.
Поэтому для фиксированного x S2/S может не более одного раза принимать значение 1/2, а S3/S - значение 1/4. Заметим также, что на промежутке (0; 3/4) определены обе эти функции.

Возьмем C1(0.05; 0.2), C2(0.2; 0.4).
S2(C1)/S(C1) = 0.6034… > 1/2, а S3(C1)/S(C1) = 0.1867… <1/4. Таким образом, точка C1 лежит выше графика S2/S = 1/2 и ниже графика S3/S = 1/4. S2(C2)/S(C2) = 0.3929… < 1/2, а S3(C2)/S(C2) = 0.2784… > 1/4. Поэтому точка C2 лежит ниже графика S2/S = 1/2 и выше графика S3/S = 1/4.
Учитывая непрерывность, заключаем, что найдется точка С (с абсциссой большей 0.05 и меньшей 0.2), для которой числа S, S1, S2 и S3 образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью -1/4.

Обсуждение

В решении не приведены явные выражения для S, S1, S2 и S3. Два первых находятся тривиально: S = y; S1 = 3y/4. А вот выражения для S3 и особенно S2 весьма громоздки, хотя в идейном плане их нахождение затруднений не вызывает (найти высоты и биссектрисы треугольника ABC, а затем применить формулу Герона). Именно для явного выражения S2 и S3, а также построения кривых типа S2/S = 1/2 и численного нахождения точек их пересечения я прибег к помощи мат. пакетов. Решение Виктора Филимоненкова, найденное вручную и лишь в деталях отличающееся от моего, показывает, что использование компьютера лишь экономит время, но не является необходимой составляющей.

Искомый треугольник получается при C(0.115544…; 0.292763…). С точностью до подобия, он единственный.

На рисунке черными линиями ограничены область D и сам искомый треугольник. Г.м.т. вершин С, для которых определены треугольники из высот, занимает часть D, расположенную выше и левее красной пунктирной линии. Красная сплошная линия - г.м.т., для которых S3/S = 1/4. Аналогичный смысл, но для треугольников из биссектрис, имеют сиреневые линии.

Числа S, S1, S2 и S3, взятые в ином порядке, арифметическую прогрессию образовывать не могут: S2 и S3 не могут превосходить S1; S3 же может быть вдвое больше S2. но лишь для значений S2, гораздо меньших S/4.

С точностью до подобия существует единственный треугольник, для которого числа S, S1, S2 и S3 образуют геометрическую прогрессию. Он получится, если взять С(0.30904…; 0.71221…).

Награды

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук получают по 7 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

 

 


Страница: [[marathon:problem_80]]

marathon/problem_80.txt · Последние изменения: 2017/11/16 12:34 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006