|
||||||||||||||||||
|
Содержание№80Конкурсная задача №80 (7 баллов)
Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади
исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из
медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти
треугольники существуют).
Примечания:
1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать. Решение
Пусть O - точка пересечения медиан AK, BL и CM треугольника ABC и
N - середина AO. Тогда треугольник MON подобен треугольнику из медиан с
коэффициентом подобия 1/3. Поэтому его площадь - S1/9. Поскольку в произвольном треугольнике высоты не превосходят соответсвующих биссектрис, а биссектрисы - соответсвующих медиан, логично (больший периметр, конечно, не гарантирует большей площади, но способствует ее увеличению) искать треугольник, у которого S = 4*S3, S1 = 3*S3 и S2 = 2*S3.
Введем декартову систему координат и зафиксируем вершины A(-1; 0) и B(1; 0).
Выбирая вершину C(x; y) из области D, задаваемой условиями
Ясно, что S, S1, S2 и S3 - непрерывные функции от x и y (разумеется, S2 и S3
определены не на всей D, т.к. треугольникииз биссектрис и высот существуют не
для любого треугольниа).
Заметим, что выражения S2/S = 1/2 и S3/S = 1/4 задают не просто кривые,
некоторые функциональные зависимости y от х.
Возьмем C1(0.05; 0.2), C2(0.2; 0.4). Обсуждение В решении не приведены явные выражения для S, S1, S2 и S3. Два первых находятся тривиально: S = y; S1 = 3y/4. А вот выражения для S3 и особенно S2 весьма громоздки, хотя в идейном плане их нахождение затруднений не вызывает (найти высоты и биссектрисы треугольника ABC, а затем применить формулу Герона). Именно для явного выражения S2 и S3, а также построения кривых типа S2/S = 1/2 и численного нахождения точек их пересечения я прибег к помощи мат. пакетов. Решение Виктора Филимоненкова, найденное вручную и лишь в деталях отличающееся от моего, показывает, что использование компьютера лишь экономит время, но не является необходимой составляющей. Искомый треугольник получается при C(0.115544…; 0.292763…). С точностью до подобия, он единственный. На рисунке черными линиями ограничены область D и сам искомый треугольник. Г.м.т. вершин С, для которых определены треугольники из высот, занимает часть D, расположенную выше и левее красной пунктирной линии. Красная сплошная линия - г.м.т., для которых S3/S = 1/4. Аналогичный смысл, но для треугольников из биссектрис, имеют сиреневые линии. Числа S, S1, S2 и S3, взятые в ином порядке, арифметическую прогрессию образовывать не могут: S2 и S3 не могут превосходить S1; S3 же может быть вдвое больше S2. но лишь для значений S2, гораздо меньших S/4. С точностью до подобия существует единственный треугольник, для которого числа S, S1, S2 и S3 образуют геометрическую прогрессию. Он получится, если взять С(0.30904…; 0.71221…). Награды За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук получают по 7 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|