№82
Конкурсная задача №82 (3 балла)
Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ?
Решение
Перепишем уравнение в виде:
2008y - 2008x - xy = 0 или
2008^2 + 2008y - 2008x - xy = 2008^2, т.е.
(2008 + y)(2008 - x) = 2008^2.
Таким образом, каждому разложению числа 2008^2 на два неравных натуральных
множителя соответствует ровно одно решение исходного уравнения. И обратно.
Вот все пары решений:
(2007, 4030056);
(2006, 2014024);
(2004, 1006008);
(2000, 502000);
(1992, 249996);
(1976, 123994);
(1944, 60993);
(1757, 14056);
(1506, 6024);
(1004, 2008).
Обсуждение
Данная задача должна была привлечь к Марафону толпы новых участников.
Но не привлекла :(
Т.е. не выполнила свою задачу.
В то же время не соглашусь с марафонцами, поставившими данной задачку низшую
эстетическую оценку.
Аргументы:
1. Наличие ошибочных решений. Причем у весьма квалифицированных участников.
Значит, все не так уж прозрачно и тривиально.
2. Наличие разных подходов, приводящих к верному решению.
Значит, все не так уж однозначно.
Награды
За правильное решение задачи 82 Влад Франк, Олег Полубасов, Николай дерюгин,
Анатолий Казмерчук и Евгений Машеров получают по 3 призовых балла.
Галина Крюкова (она не обосновала верный ответ) получает 2 призовых балла.
Виктор Филимоненков (он обосновал неверный ответ) получает 1 призовой балл.
Эстетическая оценка задачи - 2.5 балла