|
||||||||||||||||||
|
Содержание№85Эта задача является прямым продолжением задачи 83 Конкурсная задача №85 (8 баллов) Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Доказать, что для любого натурального n найдется окружность, проходящая ровно через n узлов решетки. Решение Можно обойтись фиксированным центром и не слишком разнообразными радиусами.
Окружность (x-1/3)2 + (y-1/3)2 = 52n-1/9 проходит ровно через 2n узлов
решетки. Эти узлы соответствуют решениям диофантова уравнения
(3x-1)2 + (3y-1)2 = 52n-1. Окружность (x-1/3)2 + (y-1/3)2 = 2*52n/9 проходит ровно через 2n+1 узлов решетки. Доказательство этого факта практически дословно совпадает с вышеприведенным. Множитель 2 потребовался, поскольку 52n == 1 (mod 3), а нам нужна сравнимость с двойкой. Обсуждение Разумеется, существуют и другие серии однотипных уравнений, обеспечивающие решение задачи. Например, число 5 можно безболезненно заменить на любое простое число, сранимое с 5 по модулю 12. Центр окружностей можно перенести в точку (0; 1/2) для четного числа узлов и в точку (0; 1/3) - для нечетного. И т.д. Олег Полубасов пишет: «Если оценивать эту задачу в изоляции от других задач, то есть если бы задачи 83 не было, тогда, конечно, задача 85 заслуживает своих баллов и наивысшей эстетической оценки, так как она красивее задачи 83. Но ведь задача 83 была, и в ходе её решения всё равно уже пришлось решить задачу 85 (по крайней мере, мне).» Соглашусь с этим мнением. Я тоже решил задачу 85, решая задачу 83. Точнее, ее последний пункт. Он появился «на злобу дня», в последний момент и решать его мне пришлось уже после опубликования задачи 83. С другой стороны, оценивать цадачу 85 малым числом баллов лишь на том основании, что ранне уже была опубликована задача 83, я посчитал неправильным: вдруг кто-то из нерешавших задачу 83, возьмется за 85. Как выяснилось, эта возможность так и осталась гипотетической. Но заранее я этого не знал. Награды За правильное решение задачи 85 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 8 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 4 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|