Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№88

Конкурсная задача №88 (5 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много троек взаимно простых ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками коэффициентов a, b, c рациональны. Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый?

Решение

1) Пусть f(x) = ax2 + bx + c. Тогда f(1) = a+b+c. Поэтому если a+b+c = 0, то 1 будет корнем f(x) и всех квадратных трехчленов, полученных из f(x) перестановкой коэффициентов. Но если один из корней квадратного трехчлена с целыми коэффициентами рационален, то рационален и второй.

2) Ответ на второй вопрос задачи отрицателен. Например при a = 45, b = 8, c = -77 корни соответствующего трехчлена 11/9 и -7/5.

Обсуждение

Приведенная во втором пункте тройка не единственна. Аналогичными свойствами обладает и тройка (9, 36, -85).

Олег Полубасов нашел тройку (333, 340, -913). В отличие от предыдущих примеров (когда один из корней одного из шести трехчленов является целым), для этой тройки ни один рациональных корней ни одного из шести трехчленов не целочисленен.

Награды

За правильное решение задачи 88 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_88]]

marathon/problem_88.txt · Последние изменения: 2019/02/13 16:30 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006