Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№89

Конкурсная задача №89 (5 баллов)

Для каждого натурального n определим функцию f(n) так. f(n) = k, если:
1) на плоскости можно расположить k попарно различных точек так, чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками содержало ровно n элементов;
2) для любого бОльшего числа точек подобное расположение невозможно.

1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1.
2. Может ли f(n) быть строго больше 2n+1?

Решение

Для обоснования пункта 1 достаточно расположить 2n+1 точек в вершинах правильного многоугольника.

В правильном шестиугольнике проведем большие диагонали и параллельные им отрезки, проходящие через середины сторон. Точки пересечения проведенных отрезков вместе с вершинами и серединами сторон исходного шестиугольника образуют систему из 19 точек, множество попарных расстояний между которыми содержит всего 8 элементов. Если сторона исходного шестиугольника равна 2, то множество квадратов попарных расстояний состоит из чисел 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16.

Обсуждение

Анатолий Казмерчук предложил обобщение примера ко второму пункту задачи. В правильном шестиугольнике со стороной m разобьем каждую сторону на m частей и через точки разбиения проведем отрезки, параллельные большим диагоналям и сами эти диагонали.
Получившаяся треугольная сетка содержит 3m2 + 3m + 1 узел, а множество попарных расстояний между этими узлами - m2 + 2m чисел. С ростом m отношение этих чисел стремится к 3. Поэтому f(n)/n может принимать значения сколь угодно близкие к 3.

Награды

За правильное решение задачи 89 и дополнительное исследование пункта 2 Анатолий Казмерчук получает 7 призовых баллов. Олег Полубасов получает 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_89]]

marathon/problem_89.txt · Последние изменения: 2013/01/19 11:20 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006