|
||||||||||||||||||
|
Содержание№89Конкурсная задача №89 (5 баллов)
Для каждого натурального n определим функцию f(n) так.
f(n) = k, если:
1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1. Решение Для обоснования пункта 1 достаточно расположить 2n+1 точек в вершинах правильного многоугольника. В правильном шестиугольнике проведем большие диагонали и параллельные им отрезки, проходящие через середины сторон. Точки пересечения проведенных отрезков вместе с вершинами и серединами сторон исходного шестиугольника образуют систему из 19 точек, множество попарных расстояний между которыми содержит всего 8 элементов. Если сторона исходного шестиугольника равна 2, то множество квадратов попарных расстояний состоит из чисел 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16. Обсуждение
Анатолий Казмерчук предложил обобщение примера ко второму пункту задачи.
В правильном шестиугольнике со стороной m разобьем каждую сторону на m частей
и через точки разбиения проведем отрезки, параллельные большим диагоналям и
сами эти диагонали. Награды За правильное решение задачи 89 и дополнительное исследование пункта 2 Анатолий Казмерчук получает 7 призовых баллов. Олег Полубасов получает 3 призовых балла. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|