Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№94

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость легко обеспечить, но мне представляется, что в предлагаемом виде задача выглядит поинтереснее.

Конкурсная задача №94 (4 балла)

Чем замечательна пара чисел 568 и 638?
Докажите, что аналогичных пар бесконечно много (т.е. указаннная пара, вовсе и не замечательна) :-)

Решение

У чисел 568 и 638 совпадают значения трех основных теоретико-числовых функций. А именно: ф(568) = ф(638), d(568) = d(638) и s(568) = s(638), где ф(n) - функция Эйлера, d(n) - количество, а s(n) - сумма натуральных делитей n. Поскольку все три функции мультипликативны, одновременно умножая 568 и 638 на числа, взаимно простые с каждым из них, получим бесконечно много пар, обладающих аналогичными свойствами.

Обсуждение

Будем называть числа n и m такие, что ф(n) = ф(m), d(n) = d(m), s(n) = s(m), «похожими» (ничего лучше я не придумал, поскольку термины «близнецы» и «дружественные числа» уже заняты).
К моему удивлению, я не смог найти никакой информации о похожих числах, хотя мне представляется маловероятным, что ими никто не интересовался.

Пару похожих чисел назовем «примитивной», если она не получается из другой пары домножением на одно и то же число (это не означает, что числа в примитивной паре обязаны быть взаимно просты).
По-видимому, примитивных пар тоже бесконечно много. Вот несколько первых примитивных пар: (568, 638), (1824, 1836), (3051, 3219), (4185, 4389), (4960, 5236), (6368, 6764), (7749, 8151). Пример пары (26355,27962) показывает, что похожие числа могут быть разной четности.

Похожие числа могут встречаться не только парами, но и тройками. Например, (106120,115938,122322), (227304, 228000,229500).

Мне известны пары не просто похожих, а «очень похожих» чисел. Вот две симпатичные парочки: (54509, 54905); (72703, 72713). Sq(54509) = Sq(54905), а Sq(72703) = Sq(72713), где Sq(n) - количество квадратов по модулю n. Учитывая еще равенство значений функции Мёбиуса и внешенее (по крайней мере, в десятичной записи) сходство чисел в этих парочках, в пору вслед за поэтом воскликнуть «Не те числа назвали близнецами!». Функция Sq(n) также мультипликативна, поэтому пар очень похожих чисел тоже бесконечно много.

Можно рассмотреть и другие усиления «похожести». Например, у похожих чисел 2840 и 3190 совпадают значения Carmichael's lambda function, т.е. наибольшие возможные порядки по модулям 2840 и 3190 равны.

Никому из участников Марафона не удалость узреть все перечисленные свойства, роднящие числа из условия задачи. Андрей Халявин заметил равенство значений функции Эйлера и кратность этого значения разности данных чисел. Виктор Филимоненков обнаружил равенство сумм делителей, а Андрей Извалов - некое следствие этого равенства. Кроме того, были обнаружены некоторые частности, типа «суммы цифр чисел 568 и 638 являют собой пару простых чисел близнецов».

Награды

За решение задачи 94 Андрей Халявин, Виктор Филимоненков и Алексей Извалов получают по 2 призовых балла, а Александр Расстригин - 1 призовой балл.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_94]]

marathon/problem_94.txt · Последние изменения: 2012/05/17 02:49 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006