Конкурсная задача ММ194 (6 баллов)

Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?

Решение

Приведу решения Сергея Половинкина, а также (куда же без них?) Ариадны и Олега Полубасова.

Обсуждение

В идейном плане все присланные решения близки: формула Герона и далее конечный перебор до нахождения подходящего n. Однако оптимизация этого перебора в разных решениях существенно различна. Покажу, maple-код перебора (для n=8), который осуществлял я:

with(combinat):s:=(a,b,c)→ expand( (a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c ) ):
C:=choose(6,2): for c in C do S:=[n]:for i to 6 do if not member(i,c) then S:=[op(S),n+i] fi od:
S:=[op(S),n+7]:Sp:=setpartition(S,3):
for p in Sp do
ss:=[solve(s(op(p[1]))-s(op(p[2])))]:
for q in ss do r:=subs(n=q,s(op(p[1]))):
if type(q,posint) and r>0 then print(subs(n=q,p),sqrt®/4) fi od od od:\\

Из решения легко понять, что для каждого n существует не более конечного числа равновеликих целочисленных треугольников, стороны которых выбираются из n натуральных чисел идущих подряд.

Награды

После некоторых размышлений решил никого не выделять. Константин Хадаев, Виктор Филимоненков, Ариадна, Олег Полубасов, Дмитрий Пашуткин, Анатолий Казмерчук, Антон Никонов и Сергей Половинкин - получают по 6 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла