Конкурсная задача ММ262 (3 балла)

Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.

Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Дениса Овчинникова и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Мое примечание к условию ММ262 неожиданно стало катализатором разнообразия присланных решений. Конкурсанты поделились на категории:
верно истолковавших мой намек и использовавших его;
частично использовавших мой намек;
использовавших мой намек, при этом истолковав его превратно;
не использовавших мой намек (как представители этой категории его истолковали, я не знаю).

Я имел в виду такое решение: выясняем (в надежных источниках), что указанные точки лежат на прямой Нагеля (она же - прямая Эйлера-Нагеля, она же - вторая прямая Эйлера), на которой лежат также инцентр и центроид. Очевидно, что инцентр удален от средней (и не только) стороны на r, а центроид на треть высоты, опущенной на эту сторону. Подсчитав площадь двумя способами (pr=bh_b/2), убеждаемся, что равенство этих расстояний равносильно «прогрессивности» треугольника.

К моему удивлению, я получил лишь одно решение, аналогичное изложенному. Анатолий Казмерчук перешел к более известным точкам, явно доказав, что прямая, описанная в условии, проходит через центроид и инцентр. В нескольких решениях конкурсанты, использовали только центроид (или наоборот только инцентр) и одну из точек, данных в условии. Наконец, еще несколько конкурсантов решили задачу, используя барицентрические координаты, посчитав, что примечание в условии указывает именно на такой подход.

Критику, Александра Романова «И если под конец немного удариться в формализм, то можно заметить, что формулировка задачи не вполне корректна. Если тройку равных чисел мы также считаем арифметической прогрессией (т.е. равносторонний треугольник прогрессивным), то слова «прямая, проходящая через точки, параллельна средней стороне» корректнее заменить на «точки лежат на прямой, параллельной средней стороне»: поскольку не любая такая прямая будет параллельна сторонам, но точки будут лежать в том числе и на такой прямой (точнее, на трех таких, поскольку все три стороны являются средними)» считаю необоснованной. В условии явно сказано, что рассматриваются разносторонние треугольники.

Мне известны еще много свойств «прогрессивных» треугольников. Но там известные мне доказательства очень громоздки (не в плане идей, а в плане преобразований). Например, «прогрессивность» треугольника равносильна тому, что любая из прямых X(8)X(11), X(6)X(101), X(56)X(59), X(86)X(99) проходит через вершину среднего по величине угла. (Нумерация замечательных точек взята из ETC: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html )

Награды

За решение задачи ММ262 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 4;
Мераб Левиашвили - 3;
Олег Полубасов - 3;
Денис Овчинников - 3;
Виктор Филимоненков - 3;
Владислав Франк - 3;
Константин Шамсутдинов - 3;
Александр Романов - 3;
Василий Дзюбенко - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла

---