Конкурсная задача ММ59 (8 баллов)

Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n?

Решение

Напомню, что гомоморфизмом кольца К в кольцо К' называется отображение f:K → K', при котором f(x + y) = f(x) + f(y) (1) и f(x*y) = f(x)*f(y) (2), для любых x и y из К.

Пусть f(1) = a (здесь и в дальнейшем предполагается, что элементы, к которым применяется гомоморфизм f, являются классами вычетов по модулю m, а их образы - классами вычетов по модулю n). Тогда a*a = f(1)*f(1) = f(1) = a, т.е. образ единицы первого кольца должен быть идемпотентом во втором.

Пусть . Тогда в кольце Z_n имеется ровно 2^k идемпотентов. В самом деле, сравнение x(x-1) == 0 имеет ровно два решения (0 и 1) для каждого модуля , откуда на основании китайской теоремы об остатках получаем 2^k решений по модулю m.

Взяв в качестве f(1) идемпотент a кольца Z_n, мы можем доопределить f для остальных элементов кольца Z_n, используя соотношение (1). Однако, очевидно, что при этом должно выполняться условие m кратно n/(a,n), поскольку в противном случае число элементов образа кольца Z_m не будет делителем количества элементов самого Z_m.

Таким образом, нас устроят только идемпотенты, кратные всем , для которых s_i превосходит показатель p_i в разложении m. Таких идемпотентов будет 2^t, где t - количество простых делителей в разложении n, показатели которых не превосходят их показателей в разложении m.

Легко проверяется, что отображение 1 в каждый из таких идемпотентов единственным образом достраивается до отображения Z_m в Z_n с использованием (1) и при этом (2) будет выполняться автоматически.

Окончательно получаем: число гомоморфизмов из Z_m в Z_n равно 2^t, где t - количество простых делителей в разложении n, показатели которых не превосходят их показателей в разложении m.

Награды

За правильное решение этой задачи Владислав Франк и Виктор Филимоненков получают по 8 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 3 балла

---