|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонСтартовал 24-й конкурс в рамках Математического марафона Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиММ231Конкурсная задача ММ231 (4 балла) Решения принимаются до 08.09.2018 На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный? ММ232Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Решения принимаются до 15.09.2018 Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4}?
Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… ММ233Конкурсная задача ММ233 (5 баллов) Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне Решения принимаются до 22.09.2018
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой ММ234Конкурсная задача ММ234 (5 баллов) Решения принимаются до 22.09.2018
Функция g(n) натурального аргумента n задается так: ММ235Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Решения принимаются до 06.10.2018 Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ236Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Решения принимаются до 13.10.2018 Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. ММ237Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Решения принимаются до 20.10.2018 Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
Аня: A6 – тождественная перестановка.
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A. ММ238Конкурсная задача ММ238 (7 баллов) Решения принимаются до 27.10.2018 Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. При каком наименьшем k такое возможно? ММ239Конкурсная задача ММ239 (10 баллов) Решения принимаются до 17.11.2018
Существует ли выпуклый многогранник, у которого: Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще. ММ240Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов) Решения принимаются до 01.12.2018 Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? Разбор задачТерминология ММ228-230Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ. ММ230Конкурсная зхадача ММ230 (15 баллов) Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? Решение Традиционно привожу решения Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова. Обсуждение При составлении ММ230 я не избежал соблазна облегчить жизнь ведущему (при одновременном усложнении жизни конкурсантов). Как правило, изобретая задачу для Марафона, я колдую над ней, как минимум, не меньше, чем те, кто будет ее решать. С ММ230 картина иная. Я затратил на ее составление минут пятнадцать, при этом отдавая себе отчет (см. разбалловку) сколь тяжко будет конкурсантам. Я рассмотрел конфигурацию из n-1 = 2k-1 (k>2) прямых, являющихся сторонами правильного многоугольника. Ясно что, вектор грани конфигурации - (n-1,(n-1)(n-6)/2,0,… ,0,1). Осталось добавить к конфигурации n-ную прямую так, чтобы все точки пересечения остальных прямых лежали по одну сторону от этой прямой. Теперь возьмем какое-нибудь большое k (например 53), и пыточная камера для конкурсантов готова. Выбраться из этой камеры удалось лишь двоим участникам. Не знаю как у вас, а у меня не было сомнений, что эти-то справятся. Жаль, что к ним никто не присоединился. Но подкоп в нужном направлении вели, по крайней мере, еще двое. В решении Олега Полубасова меня восхитило то, с каким изяществом он описал все возможные векторы граней, начинающиеся с указанной тройки. В целом же, после решения ММ228-230 круг нерешенных задач, связанных с конфигурациями прямых общего положения, скорее расширился, чем наоборот. Награды За решение (продвижение в сторону решения, решение и исследование) задачи ММ230 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Олег Полубасов - 20; Анатолий Казмерчук - 17; Виктор Филимоненков - 5; Валентина Колыбасова - 4. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ММ229Конкурсная задача ММ229 (7 баллов)
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Примечание: Вася – умный. ММ228Конкурсная задача ММ228 (4 балла) Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|