Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№107

Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов, но, в порядке эксперимента, предлагаю участникам «квадратную» задачку, навеянную предлагаемыми задачами, но значительно более простую.

Конкурсная задача ММ107 (4 балла)

Существует ли магический квадрат 3х3, составленный и попарно различных простых чисел, магическая сумма которого, тоже простое число?

Примечание:
Магический квадрат - это квадратная матрица, у которой сумма элементов каждой строки (столбца, большой диагонали) равна одному и тому же числу (магической сумме).

Решение

Приведу решение Тимофея Игнатьева.

Лемма.
Центральный элемент магического квадрата 3×3 равен трети магической суммы.

Доказательство.
Найдем сумму сумму элементов первого и последнего столбцов и центрального элемента. Сделаем это 2-мя различными способами:
1) рассматриваемая сумма равна удвоенной магической сумме (2 столбца) плюс центральный элемент;.. 2) рассматриваемая сумма равна утроенной магической сумме (2 диагонали и средняя строка) за вычетом двух центральных элементов.
Приравнивая эти суммы, приходим к доказываемому утверждению.

Итак магическая сумма квадрата 3×3 является составным числом, даже если он заполнен произвольными (различными) натуральными (а не только простыми) числами.

Обсуждение

Знаток магических квадратов, Наталия Макарова, конечно же, тоже знала доказанный выше факт. Отальные марафонцы (включая ведущего) углубились в рассмотрение возможных остатков от деления на 3. Впрочем, такой путь не помешал им прийти к правипьному ответу.

И лишь Николай Дерюгин привел сразу несколько квадратов, заполненных попарно различными простыми числами с магической суммой 61 (а также квадрат с магической суммой 67). К сожалению, Николай забыл, что сумма элементов каждой из больших диагоналей также должна совпадать с магической.

Награды

За правильное решение задачи ММ107 Виктор Филимоненков, Кирилл Веденский, Тимофей Игнатьев, Наталия Макарова, Алексей Ворошин и Анатолий Казмерчук получают по 4 призовых балла. Николай Дерюгин (правильно решивший искаженную задачу) получает два призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_107]]

marathon/problem_107.txt · Последние изменения: 2009/09/21 12:26 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006