|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ219Конкурсная задача ММ219 (8 баллов) Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Владислава Франка. Обсуждение По мере продвижения к финишу конкурса задачи традиционно усложняются. Не удивительно, что часть марафонцев сошли с дистанции, а другие держатся из последних сил. Но есть и те, у кого открылось второе дыхание. Посмотрим, у кого хватит сил на финишный рывок.
Интересно, что Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук, обобщая задачу, передоказали теорему Грюнбаума-Моцкина
Предлагая данную задачу, я уже знал ответ на вопрос о наибольшем возможном числе диагоналей многогранника с произвольным фиксированным количеством граней. Но, в отличие от Анатолия и Олега я не предоказывал теорему Грюнбаума_Моцкина, а нашел ее в сети. Отсечением от него ребра, ровно одна вершина которого принадлежит четырехугольной грани, получим многогранник с вектором (0,1,10,1). У полученного многогранника отсечем шестигранник, как показано в правой части рис 1. Получим многогранник с вектором граней (0,0,12,1). Но по теореме Грюнбаума-Моцкина такого многогранника не существует. Значит, не существует и исходного многогранника. Остается привести пример многогранника с вектором (0,2,8,1),имеющего 73 диагонали. Награды
За решение и обобщение ММ219 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 12 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|