Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№123

Конкурсная задача MM123 (5 баллов)

Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?

Решение

Бросание монеты можно описать математически как случайный выбор пары координат x и y, а также угла поворота монеты α

Понятно, что можно рассмотреть один квадрат со стороной 2 и координаты центра (точки пересечения диагоналей) монеты будут принимать значения от 0 до 2. Выразим вероятность попадания монеты в ячейку от угла α, который образует её сторона с горизонтальной линией разметки. Всилу симметрии угол α можно выбирать из диапазона от 0 до π/4.

При угле α монету можно вписать в квадрат, со сторонами, параллельными сторонам ячейки и равными sin(α)+cos(α) (такую картинку можно видеть в индийском доказательстве теоремы Пифагора). Центр этого квадрата совпадает с центром монеты. Пересечение описанного вокруг монеты квадрата с ячейкой равносильно пересечению самой монеты с ячейкой.

:marathon:mm123.png

«Бесконфликтная» область для центра монеты будет иметь форму квадрата, расположенного в центре ячейки. Сторона этого квадрата составит 2-sin(α)- cos(α). Тогда вероятность того, что при данном угле α монета попадёт целиком в ячейку, равна отношению площадей «бесконфликтного» квадрата и всей ячейки (2-sin(α)- cos(α))2/4

Взяв среднее интегральное этой дроби по α от 0 до π/4, получим вероятность ≈ 0.136

Обсуждение

При упоминании случайного выбора сразу вспоминается классическая задача о произвольной хорде на окружности, решение которой зависит от того, как именно мы будем выбирать хорду. Здесь же процесс бросания определяется однозначно.

Ещё одна ассоциация с этой задачей - вычисление числа пи, бросая иголку на паркетный пол.

Для подтверждения уверенности в правильности решения можно воспользоваться моделированием процесса на компьютере. Кстати, я сам при её составлении и разработке черновика решения попался на то, что забыл поделить на длину отрезка, на котором берётся интеграл, и только результат моделирования заставил вспомнить об этом. Анализ решений показал, что в этом заблуждении я был не одинок.

Ещё одна причина, не позволившая одному из участников набрать максимальное количество баллов - выбор таких пределов интегрирования α, при которых учитывается возможность пересечения с ячейкой только одной диагонали монеты.

Некоторые участники брали кратные интегралы или разделяли «бесконфликтный» квадрат на области, вычисляя площади каждой из них отдельно, что увеличило число шагов в решении, но не помешало получить правильный ответ.

Собственно задача рождается, если, решив аналогичную задачу о бросании круглой монеты, задуматься: а что будет, если монета квадратная?

Награды

За правильное решение этой задачи Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Эдвард Туркевич, Анатолий Казмерчук, Николай Дерюгин и Дмитрий Пашуткин получают по 5 призовых баллов. Алексей Волошин и Евгений Машеров получают по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.3

Обзор задачи ММ123 подготовлен Алексеем Изваловым


 

 


Страница: [[marathon:problem_123]]

marathon/problem_123.txt · Последние изменения: 2011/01/10 21:15 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006