Конкурсная задача ММ143 (КГ11) (4 балла)

Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?

Решение

Очевидно, что возможны два случая: равны между собой все боковые ребра; равны между собой все ребра в основании.

Первый случай достаточно прозрачен. Вершины основания должны лежать на окружности. При этом десятое ребро может меняться от 0 (в случае когда пятиугольник в основании вырождается в квадрат) до √3 (когда вершины основания являются пятью вершинами правильного шестиугольника). Поскольку в первом предельном случае пирамида становится четырехугольной, а во втором - плоской фигурой, крайние значения не достижимы и для длины десятого ребра получается интервал (0; √3).

Значительно содержательнее второй случай. Легко видеть, что в этом случае пятиугольник в основании должен обладать осью симметрии. Кроме того, четыре из пяти вершин этого пятиугольника должны быть вершинами равнобочной трапеции. Переменную длину будет иметь ребро, соединяющее пятую вершину основания с вершиной трапеции. Очевидно, что это ребро может быть сколь угодно коротким (нулевое значение достигается, когда вершины равнобочной трапеции в основании являются последовательными вершинами правильного шестиугольника, а угол при пятой вершине - развернутый). Для нахождения наибольшего значения длины десятого ребра рассмотрим пятиугольник в основании пирамиды подробнее (см. рисунок).

Пусть BK=b. Тогда KL=√(3+4b-4b²)/2, CK=√(1-b²), LO=(1+2b)/2√(3+4b-4b²), а высота пирамиды h=√(2-2b)/√(3-2b). Дифференцируя d=h²+CO², как функцию от b, находим значение b, при котором достигается максимальная длина десятого ребра b_max ≈ 0.04712017569 (точное значение, являющееся корнем уравнения 4-й степени можно выразить в радикалах, но выражение получается очень громоздким). Легко убедиться, что это значение лежит в допустимых пределах изменения b. Учитывая, что sqrt(d(b_max)) ≈ 1.778692025$ больше √3, получаем диапазон изменения длины десятого ребра пирамиды (0; √(d(b_max))].
Но длина ребра в основании достигает √3 лишь для случая, когда пирамида вырождается в плоскую фигуру. Длина бокового ребра равна √3 лишь для случая, когда пятиугольник в основании вырождается в треугольник со сторонами 1, 2, 2 и пирамида становится треугольной. Таким образом, √3 следует выколоть из ответа.

Окончательно получаем ответ: (0; √3) U (√3; √(d(b_max))]

Обсуждение

При уменьшении длины отрезка BD высота пирамиды монотонно увеличивается. Мне (и не только мне, но и ряду участников) сначала померещилось, что аналогично с уменьшением BD растет и CO. Это заблуждение нашло отражение в цене задачи. Когда я, вскоре после публикации задачи, обнаружил свою ошибку, то сначала хотел внести исправление, увеличив цену задачи. Но затем решил не «светится» и увеличить балл за задачу лишь при при подведении итогов.

Награды

Отмеченная ошибка оказалась далеко не единственной. Некоторые участники не усмотрели возможности (а то и «усмотрели невозможность») изменения бокового ребра, другие рассматривали только выпуклые пятиугольники в основании, третьи наврали в вычислениях… В результате баллы за задачу ММ143 распределились следующим образом: Сергей Половинкин - 8 призовых баллов; Андрей Халявин - 7 призовых баллов; Дмитрий Пашуткин и Виктор Филимоненков - по 6 призовых баллов; Кирилл Веденский - 5 призовых баллов; Алексей Волошин Александр Ларин и iPhonograph - по 4 призовых балла; Николай Дерюгин и Sirion - по 3 призовых балла; Анатолий Казмерчук и Евгений Гужавин - по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка - 4.6 балла

Разбор задачи ММ143 подготовил Владимир Лецко

---