Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

149

Конкурсная задача ММ149 (8 баллов)

При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.

Решение

Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью. 253=23⋅11. Поэтому по теореме Силова в подгруппе должен быть элемент порядка 23. Значит, n≥23. Пусть g - первообразный корень по модулю 23. Тогда подгруппа группы S23, состоящая из перестановок x → g2sx+t (mod 23), 0≤s<11, 0≤t<23, имеет порядок 253. Ответ: n=23

Обсуждение

Приведу более лобовой (если хотите, более тупой) способ построения требуемой подгруппы группы S23. Возьмем цикл a=(1 2 3 \dots 22 23) и будем строить перестановку b такую, что bab-1=a2.
Заметим, что a2=(1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22).
Пусть b(1)=2. Тогда при bab-1имеем: 1 → 2 → 3 → 3. Значит, b-1(3)=3 и b(3)=3.
Тогда 3 → 3 → 4 → 5. Значит, b-1(4)=5 и b(5)=4.
Тогда 5 → 4 → 5 → 7. Значит, b-1(5)=7 и b(7)=5.
Тогда 7 → 5 → 6 → 9. Значит, b-1(6)=9 и b(9)=6.
Продолжая в том же духе, получим b=(1 2 14 20 23 13 8 17 10 18 22)(4 15 9 6 16 21 12 19 11 7 5).
Непосредственно проверяется, что подгруппа, порожденная a и b, имеет порядок 253.

Пусть p<q - простые числа. С помощью теоремы Силова легко доказывается, что, если q не сравнимо с 1 по модулю p, то группа порядка pq циклическая. Такая группа может быть реализована перестановками множества, состоящего не менее, чем из p+q элементов. Если же q сравнимо с 1 по модулю p, то обязательно найдется группа порядка pq типа нашей, реализуемая перестановками из S_q. Подробности можно найти, например, в книжке М.Каргаполов, Ю.Мерзляков. «Основы теории групп»

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ149 Алексей Волошин получает 9 призовых баллов. Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Sirion и Андрей Халявин получают по 8 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин (нашедшие нужные подгруппы лишь в S34) получают по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка - 5 баллов

Разбор задачи ММ149 подготовил Владимир Лецко


 

 


Страница: [[marathon:problem_149]]

marathon/problem_149.txt · Последние изменения: 2012/01/25 08:31 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006