|
||||||||||||||||||
|
Содержание149Конкурсная задача ММ149 (8 баллов) При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы. Решение Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью. 253=23⋅11. Поэтому по теореме Силова в подгруппе должен быть элемент порядка 23. Значит, n≥23. Пусть g - первообразный корень по модулю 23. Тогда подгруппа группы S23, состоящая из перестановок x → g2sx+t (mod 23), 0≤s<11, 0≤t<23, имеет порядок 253. Ответ: n=23 Обсуждение
Приведу более лобовой (если хотите, более тупой) способ построения требуемой подгруппы группы S23.
Возьмем цикл a=(1 2 3 … 22 23) и будем строить перестановку b такую, что bab-1=a2. Пусть p<q - простые числа. С помощью теоремы Силова легко доказывается, что, если q не сравнимо с 1 по модулю p, то группа порядка pq циклическая. Такая группа может быть реализована перестановками множества, состоящего не менее, чем из p+q элементов. Если же q сравнимо с 1 по модулю p, то обязательно найдется группа порядка pq типа нашей, реализуемая перестановками из S_q. Подробности можно найти, например, в книжке М.Каргаполов, Ю.Мерзляков. «Основы теории групп» Награды За правильное решение и обобщение задачи ММ149 Алексей Волошин получает 9 призовых баллов. Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Sirion и Андрей Халявин получают по 8 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин (нашедшие нужные подгруппы лишь в S34) получают по 2 призовых балла. Эстетическая оценка - 5 баллов Разбор задачи ММ149 подготовил Владимир Лецко
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|