|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Содержание159Конкурсная задача ММ159 (6 баллов) Для натурального числа n, большего 1, обозначим через qu(n) отношение суммы количеств единиц во всех записях числа n в системах счисления с натуральными основаниями, большими 1, к самому числу n. Найти наибольшее и наименьшее значение qu(n) и предел qu(n) при n, стремящимся к бесконечности. Конечны ли множества чисел, для которых qu(n): меньше 1; больше 1; равно 1? Решение
Пусть g - основание системы счисления. При g>n число n будет записываться одной цифрой, отличной от 1. Поэтому суммарное число единиц во всех записях n конечно.
Очевидно, что при n/2 < g ≤ n n будет двухзначным, причем первая цифра будет 1. При g = n-1 единицами будут обе цифры в записи n. Поэтому при n > 2 qu(n) > 1/2. В то же время, qu(2) = 1/2. Значит, наименьшее значение qu(n) равно 1/2.
Ответ: Обсуждение Я ожидал, что кто-либо из участников по традиции обобщит задачу ММ159. Тем более, что естественные обобщения напрашиваются. Однако, не дождался. Придется самому.
Обозначим через quc(n) отношение суммарного количества цифр «c» в записях натурального числа n (n>c) во всех системах счисления с натуральными основаниями g (g>1) к самому числу n. Особняком стоит случай c=0. . Однако стремление к нулю очень неравномерное, с резкими всплесками на числах, имеющих много мелких делителей. Более содержательным представляется вопрос о наибольших значениях quc(n) при различных c. Обозначим через mqu© наибольшее значение функции quc(n). Ниже приведена таблица значений mqu© для небольших c (во втором столбце указаны n, при которых достигается наибольшее значение; в третьем - суммарное количество цифр «c» в записях этого n).
Полагаю второй и третий столбцы этой таблицы - достойные кандидаты в OEIS.
Гипотеза 1. При c>0 mqu© строго монотонна. Для больших c mqu© существуют целые участки, где mqu© ведет себя закономерно. Вот пример такого поведения:
По-видимому, с ростом c такие участки будут встречаться все чаще и иметь все большую длину. Награды За правильное (и наименее зависящее от компьютерного перебора) решение задачи ММ159 Олег Полубасов получает 7 призовых баллов. За верное решение Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Сергей Половинкин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - балла Разбор задачи ММ159 подготовил Владимир Лецко
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|