Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ168

Конкурсная задача ММ168 (5 баллов)

Существует ли многогранник, у которого ровно:
2 диагонали;
5 диагоналей;
7 диагоналей?

Решение

Докажем, что для любого целого неотрицательного n существует (выпуклый) многогранник, имеющий ровно n диагоналей. Для этого возьмем на ребре SAn+2 выпуклой пирамиды SA1A2…An+3 точку T и отрежем от пирамиды тетраэдр TAn+1An+2An+3. У оставшегося многогранника будет ровно n диагоналей: TA1,TA2,…,TAn.

Обсуждение

У ряда участников возникли вопросы относительно понятия «диагональ многогранника». На всякий случай они рассмотрели варианты условия, в которых диагональ грани многогранника считается диагональю многогранника. Мне такая идея в голову не приходила. Я, как-то еще со школы, привык различать эти понятия. Например, диагональ куба и диагональ грани куба. Все найденные мной источники (я начал их искать только после получения ответов, в которых учтены диагонали граней) определяют диагональ многогранника, как отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани. По счастью: никто из участников не ограничился рассмотрением ситуации в которой диагонали граней считаются диагоналями многогранника; даже в этом случае ответ будет прежним - три раза «да».

В условии ничего не сказано о выпуклости многогранника. Поэтому можно рассматривать и невыпуклые (чем и воспользовался один из участников). В то же время, очевидно, никакой необходимости в этом нет.

Алексей Волошин, Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин не ограничились рассмотрением конкретных случаев 2-х, 5-и и 7-и диагоналей, а доказали утверждения, аналогичные приведенному в решении. Сергей усмотрел способ получить любое число диагоналей, отказавшись от выпуклости многогранника (при этом считались только диагонали, лежащие внутри многогранника). Способ получения нужного выпуклого многогранника, предложенный Олегом и Анатолием, по сути аналогичен приведенному. Любопытно, что при этом они стартовали не n+3-угольной пирамиды, а с n+2-угольной. При этом они не отрезали от исходной пирамиды тетраэдр, а наоборот помещали тетраэдр на боковую грань. Получающиеся при этом многогранники идентичны, но в моем способе не нужно оговорок, а в варианте с добавлением тетраэдра нужно накладывать ограничения, чтобы сохранить выпуклость и не допустить, чтобы боковая грань добавляемого тетраэдра стала продолжением одной из граней исходной пирамиды. Способ, предложенный Алексеем, по сути похож на остальные (а отличия можно посмотреть в приведенном решении).

В одном из многогранников, предложенных в качестве многогранника с 7-ю диагоналями, а насчитал всего 6 диагоналей. Еще в одном - целых 8. Впрочем, среднее число по всем решениям оказалось правильным :-)

Кроме упомянутого решения Алексея Волошина, привожу решения Николая Дерюгина и Олега Полубасова. Николай посчитал количество диагоналей для некоторых специальных классов многогранников. Олег продвинулся еще дальше.

Награды

За решение задачи ММ168 участникам начислены следующие призовые баллы: Олег Полубасов - 8; Анатолик Казмерчук, Алексей Волошин и Николай Дерюгин - по 6; Сергей Половинкин - 5; Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи 4.3 балла

Решение Алексея Волошина Решение Николая Дерюгина Решение Олега Полубасова


Приложения

 

 


Страница: [[marathon:problem_168]]

marathon/problem_168.txt · Последние изменения: 2016/12/20 11:25 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006