Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

MM169

Конкурсная задача ММ169 (6 баллов)

Для каждого натурального числа n обозначим s(n)=φ(σ(n))/σ(φ(n)), где φ(n) - функция Эйлера, а σ(n) - сумма натуральных делителей числа n. Может ли s(n) быть:
а) меньше 1/50;
б) больше 7?

Решение задачи 169

Решение

Ответ на оба вопроса задачи положительный.
а) пусть, например, n=585871202393874409506005101538419=181⋅930619⋅129581⋅665897⋅2549⋅922781⋅17137, тогда s(n) ≈ 0.0197396;
б) пусть, например, n=7489713078452706336696362519284489351172975589170943373354534381687829821684928064000000=21236 56 74 116> 134 172 196> 234 294 316 376 412 434 476 592, тогда s(n) ≈ 7.03737.

Обсуждение

Числа 1/50 и 7, конечно, не являются особенными. Составляя эту задачу, я полагал, что значение s(n), может быть, как сколь угодно большим, так и сколь угодно близким к 0. При этом сам я поленился искать строгое доказательство этих гипотез, но надеялся, что участники Марафона (как это не раз бывало) пойдут дальше ведущего. Надежды оправдались. Но лишь отчасти. Доказательства, с наибольшими основаниями претендующие на строгость, привел Виктор Филимоненков. К сожалению Виктор, набирал формулы прямо в тексте. В отличие от dxdy правилами Марафона это не запрещено, но в некоторых случаях (наш из них) существенно затрудняет чтение. Обоснования, приведенные Евгением Гужавиным, оформлены гораздо лучше, но менее строги. Остальные участники ограничились конкретикой.

Границы 1/50 и 7 подбирались так, чтобы, с одной стороны, подходящие числа было реально подобрать на компьютере, а с другой - этот подбор не был бы слишком простым. Если на ограничении 1/50 я остановился почти сразу, решив, что до одной сотой добраться будет сложно, а промежуточные значения недостаточно красивы, то на роль семерки вначале планировалась десятка. Однако, добравшись до n=230 312 56 116 134 174 412 2634 74 476 592 616 674 712 734 794 234 7012 3734 294 316 376 434 196 1672 7612 1012 976 892 834 1494 1312 1274 1994 1974 1934 1732 3374 2932 2774 6772 5092 3974 3534 7732 7334 9112 8272 11932 11812 11632 12172 15592 14272 13732 75472 23392 26632 38632 42592 47212 19312 67612 35572 22732 69592 18472 38812 67912 50032 45832 79012 17092 68332 48892 27292 55012 34072 65512 31372 72532 44092 47512 30412 30112 21292 69172 32212 47332 32512 2512 , s(n) ≈ 8.6426, передумал.

Награды

За решение задачи ММ169 Виктор Филимоненков получает 8 призовых баллов, Евгений Гужавин, Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6 баллов, Алексей Волошин - 5 баллов.

Эстетическая оценка - 4.5 баллов

Решение Виктора Филимоненкова Решение Евгения Гужавина


 

 


Страница: [[marathon:problem_169]]

marathon/problem_169.txt · Последние изменения: 2017/11/20 15:11 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006