Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ190

Настоящая геометрия

Конкурсная задача ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.

Решение

Традиционно привожу решения Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.

Обсуждение

То ли конкурсанты выдохлись к концу года, то ли «настоящих геометров» среди них мало, но ММ190 вызвала наибольшие затруднения в туре.
В чем именно проявлялись трудности тех, кто не прислал решения, судить не берусь. Расскажу про свои, которые вылились в самую высокую в туре стартовую оценку задачи.
Я давно (со школы) помню задачку: сколько существует плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра. Решается она устно. Но ответ, на первый взгляд, неожиданный - 7 (4 параллельных граням и 3 - парам скрещивающихся ребер). Странно, что мне только в этом году (после нескольких десятилетий знакомства с исходной задачей) пришло в голову преобразовать ее в ММ190.
Сразу же после постановки задачи я пришел к выводу, что требуемых прямых для любого тетраэдра будет бесконечно много. В пользу этого говорит следующее простое рассуждение:
Прямая в пространстве имеет 4 степени свободы. А для обеспечения равноудаленности от вершин требуется выполнение всего трех равенств: d(a)=d(b)=d©=d(D). Лишняя степень свободы должна обеспечить бесконечное множество решений.
Но это рассуждение нестрогое. Система, в которой уравнений меньше чем переменных, в принципе, может быть и неразрешима или иметь конечное число решений..
Вместо того, чтобы попытаться придать вышеприведенному рассуждению строгость, я решил сначала поискать подходящие прямые для конкретных тетраэдров (ведь заранее, кроме бимедиан правильного тетраэдра, таковых не видно).
И тут меня ждал сюрприз: мне «удалось доказать», что искомых прямых всегда конечное число.

Я стартовал с геометрического места прямых, равноудаленных от двух данных точек A и B. И «выяснил», что требуемые прямые принадлежат одному из трех семейств:
а) прямые параллельные AB;
б) прямые, проходящие через середину AB;
в) прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину.

Легко доказывается, что для первого случая для любого тетраэдра существует ровно 6 искомых прямых, по одной на каждое ребро.
В самом деле, достаточно провести плоскость, перпендикулярную ребру и рассмотреть треугольник (он всегда получится), образованный точкой пересечения этой плоскости с данным ребром и проекциями двух оставшихся прямых на эту плоскость. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная выбранному ребру, будет искомой.

Во втором случае ситуация не столь прозрачна. По-видимому, чаще всего существует три искомых прямых, по одной для каждой пары скрещивающихся ребер. Но это не важно, важно, что их тоже конечное число!

Третий случай тоже не очень прозрачен. Тем более, что прямые, подходящие для третьего случая, могут оказаться сосчитанными уже во втором. Но и в этом случае получится не более конечного числа искомых прямых!

Получив выводы, противоречащие предыдущим, я некоторое время пребывал в ступоре (и задержал и без того позднее начало тура). Пока не нашел прокол (слона-то я и не приметил) в своем описании геометрического места прямых, равноудаленных от двух данных точек.
Кроме, описанных в пунктах a), б), в) случаев есть еще и четвертый, более общий, чем каждый из трех перечисленных:
г) общий перпендикуляр (единственный для скрещивающихся прямых) AB и данной прямой проходит через середину AB.
Любопытно, что один из участников сделал по сути ту же ошибку, не заметив, что двух сфер одинакового радиуса могут касаться не только образующие цилиндра и конуса, натянутого на эти сферы, но и однополостного гиперболоида.
Легко показать, что именно с использованием последнего случая возникает «утерянная бесконечность».

Награды

За решение и обобщение задачи ММ190 Анатолий Казмерчук получает 16, а Олег Полубасов - 14 призовых баллов. За разумные шаги, не приведшие, однако, к решению задачи Виктор Филимоненков и Сергей Половинкин получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_190]]

marathon/problem_190.txt · Последние изменения: 2013/12/23 21:40 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006