|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ20Конкурсная задача ММ20 (6 баллов) Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба. Решение
Обозначим ребро куба a. Ясно, что рассматриваемые сечения вполне определяются положением точек E и M, и площадь их будет тем меньше, чем ближе точка M к С, а точка E к B. При этом площадь ограничена снизу площадью треугольника BCD равной a2/2. Отсюда a<10. (1) Для того, чтобы сделать площадь сечения наибольшей, точку M, очевидно, надо совместить c С1. Однако зависимость площади от положения точки E, не столь прозрачна (с одной стороны, устремляя ее к A, мы 'удлиняем' сечение, а с другой - сужаем его нижнюю часть). Обозначим, AE = x и найдем площадь как функцию от x (при этом временно положим a=1, чтоб не путалось под ногами). Обозначим . Тогда площадь треугольника LMN будет равна , а площадь трапеции EKLN - Суммируя эти выражения находим площадь сечения:
Производная функции Sq(x) будет равна
Знаменатель не обращается в 0 на интересующем нас промежутке (0; 1), а числитель раскладывается на два множителя и . Корни первого комплексны, а второй имеет два вещественных корня, из которых один,
, принадлежит (0, 1). Награды За правильное решение этой задачи Владимир Трушков получает 6 призовых баллов. За правильно, но неполное решение Дмитрий Максимов получает 4 призовых балла.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|