|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ21Конкурсная задача ММ21 (10 баллов)
Доказать, что уравнение (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах: Решение
Как выяснилось, благодаря марафонцам, решившим эту задачу, подразделение ее на пункты а) и б) оказалось весьма искусственным. Обсуждение Объясню, откуда взялись пункты а) и б) в условии. Составляя эту задачу, я отталкивался от такого рассуждения:
Пусть n простое число большее 3. Обозначим a = n-2, k = НОК(2, 3,.., n-1), kn = m. Тогда и При составном n такое рассуждение уже не проходит. При n=9 можно сконструировать решение (1), оперируя степенями тройки и пользясь соотношением
Похожую конструкцию можно соорудить и отталкиваясь от степеней двойки. Несколько видоизмененный вариант этой задачи неожиданно для меня был опубликован в журнале «Квант» №1-2006 в разделе КМШ. Награды За правильное (более универсальное, чем авторское) решение этой задачи Владимир Трушков, Макс Алексеев и Борис Бух получают по 12 призовых баллов.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|