Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ215

Конкурсная задача ММ215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

Решение

привожу решения Виктора Филимоненкова, Дмитрия Пашуткина и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Эта задача оказалась первой в нынешнем конкурсе, вызвавшей затруднение сразу у нескольких участников.
Несколько неожиданно для меня даже разрезание призмы на 10 тетраэдров удалось найти не всем.
Более ожидаемыми были затруднения с доказательством минимальности 10 тетраэдров.
Авторское решение выглядело примерно так:
В верхней и нижней гранях лежат основания не менее чем 8 тетраэдров разбиения. Их суммарный объем - не более 2/3 объема призмы. Однако объем одного тетраэдра, содержащегося в шестиугольной призме, не может составлять треть объема призмы. Ну и предъявить разрезание на 10 тетраэдров. При этом не заморачивался с аккуратным доказательством утверждения, выделенного курсивом, понадеявшись, что это сделают конкурсанты (и они, в целом, не подвели :-)). Кроме того, я надеялся, что участники придумают и другие интересные обоснования минимальности 10 тетраэдров, не связанные с подсчетом объемов. Но здесь оказалось все не так просто. Другие обоснования были предложены. но либо недостаточно строгие, либо слишком путаные, либо то и другое вместе. В частности, я испытывал затруднения в оценке строгости решения Дмитрия Пашуткина. В нем вызывает вопросы обоснованность фразы: «Оставшаяся часть призмы разрезана гранями восьми тетраэдров с гранями на основаниях, и оставшийся многогранник будет иметь более четырех граней.» . После некоторых сомнений я решил исходить из «презумпции невиновности», т.е. считать, что Дмитрий не привел подробностей лишь на том основании, что они ему очевидны.
В некоторых других случаях (когда недостаточно обоснованных допущений было больше одного) я учел это при выставлении баллов за задачу. (Иногда изъятые баллы скомпенсировались дополнительными.)

Интересно, что два способа разрезания шестиугольной призмы на 10 тетраэдров (отсечение шести тетраэдров с последующим разрезанием октаэдра; разрезание призмы на две четырехугольных с последующим разрезанием каждой на пять тетраэдров) оказались примерно равнопопулярны среди конкурсантов.

В связи с рассмотрением ММ211 у меня возник интересный вопрос.
Будем проводить «тетрраэдризацию» многогранников по следующим правилам:
За один шаг можно разрезать многогранник (исходный или полученный на одном из предыдущих шагов и рассматриваемый отдельно) плоскостью, проходящей не менее чем через 3 вершины многогранника. процесс продолжаем до тех пор, пока исходный многогранник не разобьется на тетраэдры.

Легко видеть, что всякая n-угольная пирамида разобьется на n-2 тетраэдра.
Для куба (четырехугольной призмы) имеем уже два возможных ответа: 5 и 6.
Для треугольной бипирамиды возможные ответы 2 и 4 уже не являются соседними числами.
Таким образом, у каждого многогранника возникает любопытные характеристики: минимальное количество тетраэдров (в «тетраэдризации», проведенной по вышеописанным правилам); максимальное количество тетраэдров; набор возможных количеств тетраэдров… Или, все же, не у каждого?

Сначала мне показалось, что конечность описанного выше процесса легко обосновать. Достаточно придумать какую-либо характеристику многогранника, выражающуюся натуральным числом. и такую, что у каждого из двух многогранников, возникающих после одного шага эта характеристика меньше, чем у исходного. Однако для каждого из кандидатов на роль такой характеристики мне легко удавалось найти пример многогранника и разрезания, после которого эта характеристика возрастает или не меняется.

Может быть, многогранники делятся на «тетраэдризируемые» за конечное число шагов и те, для которых вышеописанный процесс не всегда (или даже всегда не) сходится?

Награды

За решение и обобщение задачи ММ214 участникам начислены следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7;
Владислав Франк и Олег Полубасов - по 5;
Владимир Чубанов, Виктор Филимоненков и Дмитрий Пашуткин - по 4 балла;
Дмитрий Курашкин - 3; Василий Дзюбенко - 1.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_215]]

marathon/problem_215.txt · Последние изменения: 2016/10/31 13:35 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006