Конкурсная задача ММ209 (9 баллов)

Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

Решение

Привычно привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Олега Полубасова.

Обсуждение

К сожалению, притормозившие марафонцы не спешат возвращаться «на трассу».
По-видимому, эксперимент с уклоном Марафона в «компьютерщину» можно считать успешно проваленным
Это несколько неожиданно для меня. Поскольку задачи, требующие компьютерного перебора, нередко встречались и в прошлых турах, но не вызывали массового оттока участников.

Для дальнейшего обобщения чисел, рассматриваемых в задачах ММ29, ММ39, ММ209, удобно ввести более подходящую терминологию (чтобы не увязнуть в «четверть-пятых степенях» и т.п.)

Пусть s, k, n, g - натуральные числа, причем s, k и g больше 1. Натуральное число R будем называть реппауэром, отвечающим набору (s, k, n, g), если R является точной s-й степенью и в системе счисления с основанием g число R записывается группой из n цифр, повторенной k раз.

Очевидно, что при n = 1, k = 2 для любого s существует бесконечно много реппауэров для подходящих g. Например, при g=a^s-1 число, записанное двумя единицами, будет точной s-й степенью.

При s = 2, k = 2 для каждого основания g существует бесконечно много реппауэров при подходящих n (MM29).

При s = 3, k = 2, n = 2 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (MM39).

При s = 2, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (см. решение Олега Полубасова).

При s = 3, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (ММ209).

При s = 3, k = 2, n = 3 вопрос о конечности числа реппауэров (трехзначных полукубов в старой терминологии) открыт. При этом отдельные примеры реппауэров с такими характеристиками встречаются довольно часто:

57³ = 5 5 1 5 5 1₈

140³ = 1 2 1 1 2 1₁₉

234³ = 1 22 18 1 22 18₂₃ … 24962695604³ = 49336 192746 166070 49336 192746 166070₁₉₉₄₀₇ …

При s = 2, k = 3, n = 2 (случай двузначных третьквадратов в старой терминологии) картина аналогична: есть примеры реппауэров, но неизвестно, конечно ли их число:

160797² = 17 53 17 53 17 53₆₈

7575393² = 19 32 19 32 19 32₃₁₃

274088893² = 450 133 450 133 450 133₆₉₉

4649437443² = 13 2735 13 2735 13 2735₄₃₆₆

134669813878873² = 49737 9460 49737 9460 49737 9460₅₁₅₆₇

3266513519259697² = 14911 203389 14911 203389 14911 203389₂₃₄₉₂₄

Еще один такой случай (есть примеры, но, конечно ли их число, неизвестно) s = 4, k = 2, n = 2:

78⁴ = 2 170 2 170₂₃₉

305⁴ = 27 191 27 191₆₈₂

2810⁴ = 710 3910 710 3910₄₄₄₃

7930⁴ = 1823 10935 1823 10935₁₂₉₄₃

Наконец, при s = 2, k = 4, n = 1 имеется, много примеров реппауэров, но неизвестно, конечно ли это множество:

20² = 1111₇

1218⁴ = 21 21 21 21₄₁

7540⁴ = 58 58 58 58₉₉ …

И.., собственно, все! То есть, конечно же существуют реппауэры и для наборов параметров, не описанных выше:

57459558593³ = 4208 7128 8441 5457 4208 7128 8441 5457₁₂₄₀₀ (s=3, k=2, n=4)

57³= 101101001 101101001₂ (s=3, k=2, n=9)

70³ =9 13 4 9 13 4₁₉ (s=4, k=2, n=3)

78⁶ =22 150 22 150₂₃₉ (s=6, k=2, n=2)

Но таких примеров не более чем конечное число. В противном случае мы будем иметь бесконечно много троек взаимно простых натуральных чисел (a, b, c), таких что при ε = 1/19 (rad(abc))^1+ε < c. А это противоречит утверждению abc-гипотезы, которая, не исключено, уже 3 года как не гипотеза.

Награды

За решение и обобщение задачи ММ209 Олег Полубасов получает 12 призовых баллов. За верное решение ММ209 Анатолий Казмерчук и Василий Дзюбенко получают по 9 призовых баллов. Сергей Половинкин (не добравшийся до бесконечности) получает 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

---