Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ209

Конкурсная задача ММ209 (9 баллов)

Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

Решение

Привычно привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Олега Полубасова.

Обсуждение

К сожалению, притормозившие марафонцы не спешат возвращаться «на трассу».
По-видимому, эксперимент с уклоном Марафона в «компьютерщину» можно считать успешно проваленным :-(
Это несколько неожиданно для меня. Поскольку задачи, требующие компьютерного перебора, нередко встречались и в прошлых турах, но не вызывали массового оттока участников.

Для дальнейшего обобщения чисел, рассматриваемых в задачах ММ29, ММ39, ММ209, удобно ввести более подходящую терминологию (чтобы не увязнуть в «четверть-пятых степенях» и т.п.)

Пусть s, k, n, g - натуральные числа, причем s, k и g больше 1. Натуральное число R будем называть реппауэром, отвечающим набору (s, k, n, g), если R является точной s-й степенью и в системе счисления с основанием g число R записывается группой из n цифр, повторенной k раз.

Очевидно, что при n = 1, k = 2 для любого s существует бесконечно много реппауэров для подходящих g. Например, при g=as-1 число, записанное двумя единицами, будет точной s-й степенью.

При s = 2, k = 2 для каждого основания g существует бесконечно много реппауэров при подходящих n (MM29).

При s = 3, k = 2, n = 2 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (MM39).

При s = 2, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (см. решение Олега Полубасова).

При s = 3, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (ММ209).

При s = 3, k = 2, n = 3 вопрос о конечности числа реппауэров (трехзначных полукубов в старой терминологии) открыт. При этом отдельные примеры реппауэров с такими характеристиками встречаются довольно часто:

573 = 5 5 1 5 5 18

1403 = 1 2 1 1 2 119

2343 = 1 22 18 1 22 1823 … 249626956043 = 49336 192746 166070 49336 192746 166070199407

При s = 2, k = 3, n = 2 (случай двузначных третьквадратов в старой терминологии) картина аналогична: есть примеры реппауэров, но неизвестно, конечно ли их число:

1607972 = 17 53 17 53 17 5368

75753932 = 19 32 19 32 19 32313

2740888932 = 450 133 450 133 450 133699

46494374432 = 13 2735 13 2735 13 27354366

1346698138788732 = 49737 9460 49737 9460 49737 946051567

32665135192596972 = 14911 203389 14911 203389 14911 203389234924

Еще один такой случай (есть примеры, но, конечно ли их число, неизвестно) s = 4, k = 2, n = 2:

784 = 2 170 2 170239

3054 = 27 191 27 191682

28104 = 710 3910 710 39104443

79304 = 1823 10935 1823 1093512943

Наконец, при s = 2, k = 4, n = 1 имеется, много примеров реппауэров, но неизвестно, конечно ли это множество:

202 = 11117

12184 = 21 21 21 2141

75404 = 58 58 58 5899

И.., собственно, все! То есть, конечно же существуют реппауэры и для наборов параметров, не описанных выше:

574595585933 = 4208 7128 8441 5457 4208 7128 8441 545712400 (s=3, k=2, n=4)

573= 101101001 1011010012 (s=3, k=2, n=9)

703 =9 13 4 9 13 419 (s=4, k=2, n=3)

786 =22 150 22 150239 (s=6, k=2, n=2)

Но таких примеров не более чем конечное число. В противном случае мы будем иметь бесконечно много троек взаимно простых натуральных чисел (a, b, c), таких что при ε = 1/19 (rad(abc))1+ε < c. А это противоречит утверждению abc-гипотезы, которая, не исключено, уже 3 года как не гипотеза.

Награды

За решение и обобщение задачи ММ209 Олег Полубасов получает 12 призовых баллов. За верное решение ММ209 Анатолий Казмерчук и Василий Дзюбенко получают по 9 призовых баллов. Сергей Половинкин (не добравшийся до бесконечности) получает 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_209]]

marathon/problem_209.txt · Последние изменения: 2016/03/26 10:36 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006