|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ216Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n. Решение Привожу решения Олега Полубасова и Владислава Франка. Обсуждение Ход 22-го марафонского турнира все более напоминает картину предыдущего: достаточно дружный старт, а к середине начинается выпадение участников. Остается надеяться, что на этот раз к заключительным задачам притормозившие марафонцы вернутся на дистанцию. Основание для таких надежд есть - ведь все последующие задачи опять про приглянувшиеся большинству марафонцев многогранники. Так или иначе, на ММ216 получено всего 4 решения. А обоснованный ответ на все пункты задачи имеется и вовсе в двух из них. Соглашусь, что аккуратные обоснования немного (а если пойти длинным путем то и весьма) муторны. В то же время, для меня было удивительно, что даже бывалые, искушенные участники (не все, но и не один) не заметили, что в качестве 7-х степеней годятся 14-е, 21-е etc., тем самым, резко усложнив для себя 3-й пункт задачи. Отмечу, что факториалы степеней двойки (и последующих чисел вплоть до первого простого) не являются красивыми, начиная 8!, даже если предшествующее степени двойки число является простым числом Мерсенна (как собственно и происходит для 8). Вообще, среди факториалов довольно много некрасивых (в первой тысяче, например, 345) и это совсем не обязательно числа из диапазона [2k..p<pm-1], где p<pm-1<2k<pm.
Красивых чисел не было в OEIS. Я восполнил этот пробел - A262981. (а Антон Никонов дополнил, то что я восполнил.)
Назовем наименьшее натуральное число, имеющее ровно n делителей, родительским для n (буду благодарен тому, кто предложит более удачное название). Такие числа приведены в A005179. Исходя из этих предположений Антон ввел примитивные красивые числа: 1,2,6,8,9,18,20,30,45,… Формулируя ММ216, я надеялся, что получу не предположения 1 и 2, а доказанные утверждения 1 и 2. Увы… Несмотря на отсутствие доказательства, 1-я гипотеза не вызывает у меня ни малейших сомнений, а вторая кажется весьма правдоподобной. Еще одно предположение: произведение взаимно простых красивых чисел красиво. Награды
За решение и обобщение задачи мм216 участникам начислены следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|