Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)

Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P.
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019.
При каком наименьшем k такое возможно?

---

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Наверное, марафонцы подустали. Так что, запланированный перерыв (на Реальный конкурс) будет весьма кстати.
Полагаю, следствием этой усталости стало и значительное количество мелких неточностей в решениях, и тяжеловесный подход к простым вещам, и почти полное отсутствие аналогов, параллелей и обобщений. А этих самых параллелей немало. Впрочем, вслед за конкурсантами помолчу о них и я: приберегу для следующих задач.

Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали M_k/m_k, где M_k - максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, а m_k, соответственно, минимальное. Наиболее простым мне показался метод, примененный Владиславом Франком (правда, применяя его Влад пару раз обсчитался
Проиллюстрирую подход Влада на примере нахождения M₉/m₉: Среди девяти последовательных чисел ровно три кратно 3 и ровно одно кратно 9. Поэтому множитель 3 не войдет в искомое отношение. Однако туда войдут множители 5 и 7, так среди 9 последовательных чисел может быть как два, так и одно кратное 5 (7). Наконец, если произведение девяти чисел начинается с числа кратного 8, то его отношение к НОК будет в 8 раз больше, чем в случае, когда произведение начинается с нечетного числа. Итого M₉/m₉=280.

Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил), что M_k/m_k равно {LCM(1,2,…,k)/k (см. https://oeis.org/A002944)

Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано, баллы не снимались), другие же - привели, ни разу при этом не повторившись. Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому, это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется, искал именно наименьшие. Впрочем, задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария

Награды

За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7;
vpb - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Владимир Чубанов - 7;
Евгений Гужавин - 7;
Владислав Франк - 6;
Константин Шамсутдинов - 6;
Владимир Дорофеев -5.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла

---