Конкурсная задача ММ270 (16 баллов)

Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.

Решение

Привожу решения призеров конкурса, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука, а также обобщение задачи победителя конкурса Мераба Левиашвили .

Обсуждение

В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не «доказал» неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.

Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.

Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).

Награды

За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 18;
Олег Полубасов - 16;
Анатолий Казмерчук - 16;
Александр Романов - 16;
Константин Шамсутдинов - 10;
Виктор Филимоненков - 10;
Денис Овчинников - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла