Конкурсная задача ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x² - a = [x]{x}?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Вторая задача тура также не вызвала серьезных затруднений у участников Марафона (пара вычислительных ошибок не в счет).

Естественным обобщением задачи является нахождения количества решений при каждом значении параметра a. По сути, ответ на этот вопрос почти сам собой получается при поиске ответа на вопрос задачи. Я поощрил одним призовым баллом участников, явно (и без погрешностей) указавших количество решений при каждом a.

Евгений Гужавин дополнительно рассмотрел случай альтернативного определения функции {x}. Я не стал давать за это дополнительные баллы. Возможно, тут подсознательно сработало мое негативное отношение к этому определению. Официальные же отмазки таковы:
функция {x} уже встречалась в марафонских задачах (см., например, ММ79) и тогда ее толкование не вызвало разночтений;
уточняющие вопросы разрешены и приветствуются.

Награды

За решение задачи ММ202 начислены следующие баллы: Олег Полубасов и Евгений Гужавин - по 6 призовых баллов; Сергей Половинкин, Игорь Ханов, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Валентина Колыбасова (Ариадна), Тимофей Ломоносов - по 5 призовых баллов; Владимир Дорофеев, Алексей Извалов - по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла