Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)

1. Пусть М = {h_a, h_b, h_c, b_a, b_b, b_c, m_a, m_b, m_c} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел {h_a, h_b, h_c, b_a, b_b, b_c, m_a, m_b, m_c} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤c и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

Решение задачи 210

Решение

Количество решений, присланных после продления срока их приема, оказалось меньше количества просьб об этом продлении. Поэтому привожу все решения, которые у меня есть: Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и авторское.

[b]Обсуждение[/b]

Малое количество присланных решений вполне компенсируется их размером. И это только «видимая часть айсберга». Так, кроме выложенного мной на всеобщее обозрение 30-страничного трактата, Анатолий Казмерчук прислал еще несколько файлов с «кухней». У меня тоже имеется солидная «подводная часть» решения (преимущественно она относится к обоснованию отсутствия неучтенных точек пересечения рассматриваемых кривых в интересующей нас области). Полагаю, что и Олег Полубасов при получении тех результатов, которые приведены в его решении без сопровождающих подробностей, опирался не только на «метод божественного озарения»

Расхождение в общем количестве числа упорядочиваний классов одинаковых величин в случае, допускающем вырожденные треугольники, (по 63 у меня и Олега, 62 у Анатолия) объясняется просто. Анатолий не включил в рассмотрение «треугольник» ABC, у которого вершины B и C совпадают, и аргументировал это. Олег привел те же аргументы в пользу неопределенности высоты из вершины A, но включил этот случай. Я же полагал, что высота из вершины A в таком «треугольнике» равна его медиане и биссектирисе из той же вершины, поскольку равнобедренность этого «треугольника» не вызывает сомнений (в отличие от его треугольности ) Полагаю, это вопрос договоренности.

Понятно, что рассматриваемые вопросы зависят только от формы, но не от размеров треугольника. Поэтому задача является двухпараметрической. Но сами параметры можно выбирать по-разному. Подход, который еще со времен задачи ММ80 предпочитаю я, нравится мне своей наглядностью - на рисунке представлены сами изучаемые треугольники, а не их характеристики. Удивительно, что я ни разу не встречал такой параметризации в литературе (она встречалась в решении задачи ММ80, присланном Виктором Филимоненковым, но в этом туре Виктор сошел с дистанции посреди этапа :( ).

Любопытно, что среди тупоугольных треугольников представлены все 56 возможных классов невырожденных треугольников. Если допустить к рассмотрению вырожденные треугольники, то среди тупоугольных будут представлены 62 класса. Т.е. вновь все возможные за исключением описанного выше класса «треугольников» с двумя совпадающими вершинами (у таких «треугольников», на мой взгляд, один острый угол и пара прямых, но я не настаиваю на таком толковании ). Среди остроугольных треугольников представлены всего 16 классов (7 при |M|=9, 6 при |M|=8, 2 при |M|=4, 1 при |M|=1). Те же классы (за исключением равносторонних треугольников) представлены среди прямоугольных треугольников.

Награды

За решение задачи ММ210 Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов получают 13 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

---