Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ220

Конкурсная задача ММ220 (15 баллов)

Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.

Решение

Привожу все поступившие решения этой трудной задачи: Анатолия Казмерчука, Олега Полубасова и Владислава Франка (как обычно сохранившего в итоговом решении весь тернистый путь к нему).
В качестве авторского решения привожу текст доклада, написанного под моим руководством Михаилом Корневым при участии Ивана Кравченко. Доклад имеет отношение не только к ММ220, но и еще к восьми задачам конкурса. Ответ к разбираемой задаче легко получается применением формул, выведенных во втором параграфе.

Обсуждение

До финиша 22-го марафонского конкурса добрались 3 (с лишним ;-))участника. С учетом тенденций прошлых конкурсов и сложности заключительной задачи такой итог был вполне предсказуем, хотя ведущий, с присущим ему оптимизмом, до последнего надеялся на лучшее.

Как это часто практикуется в Марафоне, вопрос задачи ММ220 был частным. Но в данном случае обобщение задачи не только естественно, но, по сути, необходимо. Поскольку проще всего искать ответ к задаче, исследуя вопрос о возможных количествах диагоналей многогранников с фиксированным числом вершин в общем виде. В связи с этим обстоятельством прибавки за обобщение и рассмотрение других случаев задачи несущественны по отношению к базовой стоимости.

Возможные количества диагоналей, а также мощности множеств возможных количеств диагоналей для относительно небольших значений v приведены здесь: Приложения. Интересно, что вторая из этих последовательностей обнаружилась в OEIS: A023536. При этом в описании последовательности никакие диагонали многогранников не упоминались.
В связи с нынешним конкурсом в OEIS появился и целый ряд новых последовательностей:
A279015 - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней;
A279019 - наименьшее возможное количество диагоналей простых многогранников с данным числом граней;
A279022 - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом ребер;
A279647 - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом граней;
A279679 - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом ребер;
A279681 - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин.

В этом списке не хватает не только тривиальных случаев, типа «Наименьшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней (вершин)», но и нескольких содержательных вариаций. Наибольшие возможные количества диагоналей многогранников с данным числом вершин описываются треугольными числами. А вот , например, вопрос о наименьшем возможном количестве диагоналей простых многогранников с данным числом вершин (коих в данном случае, разумеется должно быть четное число) ждет своего исследователя.

Любопытно, что исчерпывающее описание возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин удалось получить вопреки тому обстоятельству, что задача существования многогранников с требуемым вектором граней (участвующим в формуле подсчета числа диагоналей) в общем виде (насколько мне известно) до сих пор не решена. (Отмечу, что условия (2) - (5) из решения Олега Полубасова, насколько я могу судить, не дают решения для общего случая.)

Я пробовал применить технику (введение параметра, отвечающего за количество вершин вне грани с наибольшим числом сторон), приведшую к полному описанию возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин, к аналогичным задачам в случаях, когда фиксируется количество граней или ребер. Но ничего хорошего из этого не вышло. Вместо отрезков натурального ряда, сплошь заполненных возможными значениями, возникает какое-то решето :-( Возможно, иной подход окажется удачнее. Но «ручное» вычисление начальных значений A279647 и A279679 оптимизма не внушает - каких-либо закономерностей не видно.

Награды

За решение и обобщение ММ220 Анатолий Казмерчук получает 17 призовых баллов, а Олег Полубасов и Владислав Франк - по 15 призовых баллов.
За некоторые соображения по решению Владимир Чубанов получает 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_220]]

marathon/problem_220.txt · Последние изменения: 2017/09/09 11:43 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006