Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ234

Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)

Функция g(n) натурального аргумента n задается так:
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?

Решение

Привожу решения Юрия Варламова (минималистическое) и Василия Дзюбенко (более развернутое).

Обсуждение

Большая разрядность чисел в условии, кроме очевидной отсылки к году проведения конкурса, призвана устранить прямое переборное решение. Но, разумеется, это лишь некая «дымовая завеса». Разность 26 достигается уже для трехзанчных чисел и больше не меняется с ростом разрядности. Я полагаю, что это заметили все конкурсанты. Но, в условиях дефицита красивых обобщений, я поощрил дополнительным тех, кто явно сформулировал этот момент. Еще один дополнительный балл, получил vpb (за лемму, без которой в решении вполне можно обойтись :-)). И это тоже свидетельство некоторой тоски ведущего о реально серьезных обобщениях и интересных аналогах конкурсных задач.
Я был почти уверен, что многие конкурсанты рассмотрят наиболее напрашивающиеся аналоги ММ234 для других систем счислеия, других степеней последней цифры. И, возможно, иные.
Однако, к другим системам счисления обратился лишь Владимир Дорофеев. Он заметил, что аналог петли 89 имеется для всех оснований ситемы счисления, больших 2, и наличие петель для систем с основанием k2-k+1. Например, в семеричной системе g7(13)=g7(24)=1. Однако и Владимир не пошел дальше рассмотрения одноэлементных циклов. Честно признаюсь, и сам ведущий поленился рассматривать естественные обобщения данной задачи. В отличие от ряда других.

Награды

За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Владимир Дорофеев - 6;
Василий Дзюбенко - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
vpb - 6;
Юрий Варламов - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Евгений Гужавин - 5;
Владимир Чубанов - 5;
Владислав Франк - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_234]]

marathon/problem_234.txt · Последние изменения: 2018/10/07 11:31 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006