Конкурсная задача ММ248 (8 баллов)

Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова. (Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.)

Обсуждение

ММ248 далась не всем конкурсантам. Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,…} ровно один элемент - двойка! Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).

К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число. (Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)

Награды

За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Владислав Франк - 9;
vpb - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Мераб Левиашвили - 8;
Александр Домашенко - 3;
Владимир Дорофеев - 1;
Анна Букина - 1.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов