Конкурсная задача ММ249 (10 баллов)

Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x^k=a иметь ровно 2020 решений?

Решение

Привожу решения Мераба Левиашвили, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали.

Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом )). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут. Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.

Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.

Награды

За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Константин Шамсутдинов - 12;
Анатолий Казмерчук - 12;
Виктор Филимоненков - 10;
vpb - 10;
Владислав Франк - 9.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов