|
||||||||||||||||||
|
Конкурсная задача №74 (6 баллов)
Вася и Петя поспорили. Решение Проницательные марафонцы сразу догадались, что существуют требуемые многогранники как с объемом больше 1, так и с объемом меньше 1. В самом деле, если на единичный куб поставить правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны по 1, получится многогранник, имеющий 16 ребер длины 1, пять граней которого являются квадратами, а остальные 4 правильными треугольниками. Ясно, что объем такого «домика» больше 1.
Многогранник, удовлетворяющий условию, но имеющий объем меньше 1, устроен
чуть хитрее: расположим в параллельных плоскостях два единичных квадрата так,
чтобы один был повернут на 45 градусов относительно другого, и все 8 отрезков,
соединяющих вершины одного квадрата с ближайшими вершинами другого имели
единичную длину. Две гранни полученного тела (оно называется квадратной
антипризмой) являются квадратами, а остальные восемь - правильными
треугольниками. Ортогонально спроектируем вершины верхнего основания антипризмы в плоскость нижнего, и наоборот. В результате наша антипризма будет вписана в правильную восьмиугольную призму. Легко видеть, что площадь основания этой призмы равна √2, а высота - 1/4√2. Значит, ее объем равен 4√2. Для нахождения объема искомой антипризмы, остается вычесть отсюда 8 объемов одинаковых пирамидок, дополняющих нашу антипризму до 8-угольной призмы. Площадь основания одной такой пирамидки - (√2-1)/4, а высота такая же как у призмы. В результате получаем, что объем антипризмы - (2+√2)/34√2, что примерно равно 0,957. Итак, объем многогранника, удовлетворяющго условию, может быть как больше, так и меньше 1. Сложнее обстоит дело с ответом на вопрос, кто из мальчиков прав. Здесь мнения участников марафона разошлись от «оба правы», до «никто не прав» (имеются и промежуточные варианты). Во избежание кровопролитной, но безрезультатной дискуссии я посчитал правильными все ответы, в которых найдены (или оценены) объемы двух вышеописанных многогранников. Обсуждение Многие (из тех немногих, кто откликнулся на задачу) марафонцы утверждают (но не слишком строго обосновывают), что перечисленными в решении исчерпываются все невырожденные многогранники, удовлетворяющие условию. Я придерживаюсь того же мнения и пришел к нему, перебором возножных вариантов валентностей вершин и числа сторон в гранях. Евгений Машеров ссылается на результат В.Залгаллера 1969 года, доказавшего, что список из 92 так называемых Джонсоновых тел является полным. Этот список был опубликован Н.Джонсоном в 1966 году и включает в себя строго выпуклые многогранники (отличные от платоновых и архимедовых тел, а также призм и антипризм) все грани которых являются правильными многоугльниками. Олег Полубасов заметил, что под классическое определение выпуклого многогранника можно притянуть и правильный 16-угольник, считая его двугранником, склеенным из двух одинаковых 16-угольников. Но даже после этого я не хочу считать плоский многоугольник многогранником ;) Награды За правильное решение этой задачи Дмитрий Милосердов, Евгений Машеров, Олег Полубасов, Константин Кноп, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 6 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|