Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Конкурсная задача №74 (6 баллов)

Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы. Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы. Кто из них прав?

Решение

Проницательные марафонцы сразу догадались, что существуют требуемые многогранники как с объемом больше 1, так и с объемом меньше 1.

В самом деле, если на единичный куб поставить правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны по 1, получится многогранник, имеющий 16 ребер длины 1, пять граней которого являются квадратами, а остальные 4 правильными треугольниками. Ясно, что объем такого «домика» больше 1.

Многогранник, удовлетворяющий условию, но имеющий объем меньше 1, устроен чуть хитрее: расположим в параллельных плоскостях два единичных квадрата так, чтобы один был повернут на 45 градусов относительно другого, и все 8 отрезков, соединяющих вершины одного квадрата с ближайшими вершинами другого имели единичную длину. Две гранни полученного тела (оно называется квадратной антипризмой) являются квадратами, а остальные восемь - правильными треугольниками.
Показать, что объем нашей антипризмы меньше 1 можно различными способами. Приведу наииболее изящный (на мой взгляд) из них, предложенный Константином Кнопом.

Ортогонально спроектируем вершины верхнего основания антипризмы в плоскость нижнего, и наоборот. В результате наша антипризма будет вписана в правильную восьмиугольную призму. Легко видеть, что площадь основания этой призмы равна √2, а высота - 1/4√2. Значит, ее объем равен 4√2. Для нахождения объема искомой антипризмы, остается вычесть отсюда 8 объемов одинаковых пирамидок, дополняющих нашу антипризму до 8-угольной призмы. Площадь основания одной такой пирамидки - (√2-1)/4, а высота такая же как у призмы. В результате получаем, что объем антипризмы - (2+√2)/34√2, что примерно равно 0,957.

Итак, объем многогранника, удовлетворяющго условию, может быть как больше, так и меньше 1. Сложнее обстоит дело с ответом на вопрос, кто из мальчиков прав. Здесь мнения участников марафона разошлись от «оба правы», до «никто не прав» (имеются и промежуточные варианты). Во избежание кровопролитной, но безрезультатной дискуссии я посчитал правильными все ответы, в которых найдены (или оценены) объемы двух вышеописанных многогранников.

Обсуждение

Многие (из тех немногих, кто откликнулся на задачу) марафонцы утверждают (но не слишком строго обосновывают), что перечисленными в решении исчерпываются все невырожденные многогранники, удовлетворяющие условию. Я придерживаюсь того же мнения и пришел к нему, перебором возножных вариантов валентностей вершин и числа сторон в гранях. Евгений Машеров ссылается на результат В.Залгаллера 1969 года, доказавшего, что список из 92 так называемых Джонсоновых тел является полным. Этот список был опубликован Н.Джонсоном в 1966 году и включает в себя строго выпуклые многогранники (отличные от платоновых и архимедовых тел, а также призм и антипризм) все грани которых являются правильными многоугльниками.

Олег Полубасов заметил, что под классическое определение выпуклого многогранника можно притянуть и правильный 16-угольник, считая его двугранником, склеенным из двух одинаковых 16-угольников. Но даже после этого я не хочу считать плоский многоугольник многогранником ;)

Награды

За правильное решение этой задачи Дмитрий Милосердов, Евгений Машеров, Олег Полубасов, Константин Кноп, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 6 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла

 

 


Страница: [[marathon:problem_74]]

marathon/problem_74.txt · Последние изменения: 2007/10/30 14:17 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006