В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные «дыры». Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.)

Конкурсная задача ММ199 (5 баллов)

Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?

Решение

Привожу решения Сергея Половинкина, Ариадны и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Задача ММ199 не вызвала затруднений у конкурсантов. При этом методы решения были довольно разнообразны (см. приведенные решения).

Владимир Дорофеев указал, как считать стороны и вершины, в случае «двуугольных» и «одноугольных» дыр, чтобы ответы n+3m-3 и n+2m-2 оставались верными.

В то же время, Сергей Половинкин указал частные случаи многоугольников с «нормальными» дырами, в которых ответы n+3m-3 и n+2m-2 перестают быть верными (точнее, единственно верными). Хотя, разумеется, они останутся незыблемы и в этих случаях, если аккуратнее определить триангуляцию многоугольника диагоналями.

Награды

За решение задачи ММ199 Сергей Половинкин и Владимир Дорофеев получают по 6 призовых баллов, а Константин Хадаев, Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Дмитрий Пашуткин, Ариадна и Анатолий Казмерчук - по 5 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла