Конкурсная задача ММ250 (14 баллов)

Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова, Анатолия Казмерчука и авторское.

Обсуждение

При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.
Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу, я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И… тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным!

Как обычно, последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.

«Ощущая дыхание в спину» со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.
Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно…
Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.

В конце решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения, по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.

Награды

За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 17;
Мераб Левиашвили - 15;
Константин Шамсутдинов - 15;
Виктор Филимоненков - 14;
Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов