Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)

1. Пусть М = {h_a, h_b, h_c, b_a, b_b, b_c, m_a, m_b, m_c} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел {h_a, h_b, h_c, b_a, b_b, b_c, m_a, m_b, m_c} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤c и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

Решение

Количество решений, присланных после продления срока их приема, оказалось меньше количества просьб об этом продлении. Поэтому привожу все решения, которые у меня есть: Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и авторское.

Обсуждение

Малое количество присланных решений вполне компенсируется их размером. И это только «видимая часть айсберга». Так, кроме выложенного мной на всеобщее обозрение 30-страничного трактата, Анатолий Казмерчук прислал еще несколько файлов с «кухней». У меня тоже имеется солидная «подводная часть» решения (преимущественно она относится к обоснованию отсутствия неучтенных точек пересечения рассматриваемых кривых в интересующей нас области). Полагаю, что и Олег Полубасов при получении тех результатов, которые приведены в его решении без сопровождающих подробностей, опирался не только на «метод божественного озарения»

Расхождение в общем количестве числа упорядочиваний классов одинаковых величин в случае, допускающем вырожденные треугольники, (по 63 у меня и Олега, 62 у Анатолия) объясняется просто. Анатолий не включил в рассмотрение «треугольник» ABC, у которого вершины B и C совпадают, и аргументировал это. Олег привел те же аргументы в пользу неопределенности высоты из вершины A, но включил этот случай. Я же полагал, что высота из вершины A в таком «треугольнике» равна его медиане и биссектирисе из той же вершины, поскольку равнобедренность этого «треугольника» не вызывает сомнений (в отличие от его треугольности ) Полагаю, это вопрос договоренности.

Понятно, что рассматриваемые вопросы зависят только от формы, но не от размеров треугольника. Поэтому задача является двухпараметрической. Но сами параметры можно выбирать по-разному. Подход, который еще со времен задачи ММ80 предпочитаю я, нравится мне своей наглядностью - на рисунке представлены сами изучаемые треугольники, а не их характеристики. Удивительно, что я ни разу не встречал такой параметризации в литературе (она встречалась в решении задачи ММ80, присланном Виктором Филимоненковым, но в этом туре Виктор сошел с дистанции посреди этапа :( ).

Любопытно, что среди тупоугольных треугольников представлены целых 51 из 56 возможных классов невырожденных треугольников. Если допустить к рассмотрению вырожденные треугольники, то среди тупоугольных будут представлены 57 классов. Отпадет еще описанный выше класс «треугольников» с двумя совпадающими вершинами (у таких «треугольников», на мой взгляд, один острый угол и пара прямых, но я не настаиваю на таком толковании ).
Среди остроугольных треугольников представлены всего 20 классов из 56 (8 при |M|=9, 8 при |M|=8, 1 при |M|=7, 2 при |M|=4, 1 при |M|=1).
14 классов из 56 представлены среди прямоугольных треугольников.

Награды

За решение задачи ММ210 Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов получают 13 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

---