Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов)

Пусть - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число .
Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.

Решение

Привожу решения Валентины Колыбасовой, Анатолия Казмерчука, Виктора Филимоненкова и Олега Полубасова.

Обсуждение

Я не обнаружил никаких следов ММ227 в OEIS. Планирую исправить это упущение. При этом интересны не сила или слабость тех или иных наборов простых множителей, сравнение силы сильных. Этот момент не нашел своего выражения в присланных решениях. Придется отдуваться ведущему.
Рассмотрим, например, наиболее простой класс сильных чисел - степени простых. Для каждого p уравнение x = k*sopf(x) разрешимо. При этом количество решений зависит только от p. Таким образом, возникает любопытное разбиение всех простых числел на классы:
К классу 1 относятся простые числа 2, 61, 97, 113, 151, 173…
К классу 2 - 3, 5, 17, 29, 41, 53, 73, 79…
К классу 3 - 7, 11, 13, 23, 37, 47, 89…
К классу 4 - 19, 31, 43, 67, 103, 131…
К классу 5 - 71, 179…
Естественно возникает вопрос о бесконечности классов для каждого натуральноо числа. Более тонок вопрос об асимтотической плотности классов.

Задача ММ227 понравилась участникам. Даже если исключить мнение марафонцев, оценивающих задачи по однобалльной шкале, оценка останется высокой Такая ситуация весьма редка. Обычно, при достаточном количестве присланных решений палитра вкусовых предпочтений достаочно широка.

Разброс в призовых баллах тоже не слишком велик. Мне показалось недостаточно строгим обоснование слабости числа 46 Евгением Гужавиным. Это нашло отражение в оценке. Если Евгений докажет мне, что это я, а не он чего-то упустил готов пересмотреть его оценку.

Награды

За решение задачи ММ227 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Владислав Франк, Владимир Дорофеев, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова и Тимофей Игнатьев - по 7;
Евгений Гужавин - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла