Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ227

Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов)

Пусть n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s} - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число p_1+p_2+...p_s.
Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.

Решение

Привожу решения Валентины Колыбасовой, Анатолия Казмерчука, Виктора Филимоненкова и Олега Полубасова.

Обсуждение

Я не обнаружил никаких следов ММ227 в OEIS. Планирую исправить это упущение. При этом интересны не сила или слабость тех или иных наборов простых множителей, сравнение силы сильных. Этот момент не нашел своего выражения в присланных решениях. Придется отдуваться ведущему.
Рассмотрим, например, наиболее простой класс сильных чисел - степени простых. Для каждого p уравнение x = k*sopf(x) разрешимо. При этом количество решений зависит только от p. Таким образом, возникает любопытное разбиение всех простых числел на классы:
К классу 1 относятся простые числа 2, 61, 97, 113, 151, 173…
К классу 2 - 3, 5, 17, 29, 41, 53, 73, 79…
К классу 3 - 7, 11, 13, 23, 37, 47, 89…
К классу 4 - 19, 31, 43, 67, 103, 131…
К классу 5 - 71, 179…
Естественно возникает вопрос о бесконечности классов для каждого натуральноо числа. Более тонок вопрос об асимтотической плотности классов.

Задача ММ227 понравилась участникам. Даже если исключить мнение марафонцев, оценивающих задачи по однобалльной шкале, оценка останется высокой :-) Такая ситуация весьма редка. Обычно, при достаточном количестве присланных решений палитра вкусовых предпочтений достаочно широка.

Разброс в призовых баллах тоже не слишком велик. Мне показалось недостаточно строгим обоснование слабости числа 46 Евгением Гужавиным. Это нашло отражение в оценке. Если Евгений докажет мне, что это я, а не он чего-то упустил готов пересмотреть его оценку.

Награды

За решение задачи ММ227 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Владислав Франк, Владимир Дорофеев, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова и Тимофей Игнатьев - по 7;
Евгений Гужавин - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_227]]

marathon/problem_227.txt · Последние изменения: 2017/10/28 14:47 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006