Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ200

Конкурсная задача ММ200 (8 баллов)

Обозначим через T(m) максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.) При каком наименьшем m значение отношения T(m)/m достигает 4?

Примечание: 8 баллов - это условная цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем у ведущего.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Решение Виктора Филимоненкова:
Возьмем равносторонний треугольник с длиной стороны 6. Проведем к каждой стороне по 2 параллельных секущих, длиной 5 и 3, и по 3 перпендикулярных секущих, одна из которых высота, а две других составляют 5/6 от высоты. Проведенные 15 секущих разбивают треугольник на 60 треугольников, что доказывает неравенство T(15)/15 >= 4.
Минимальность пятнадцати секущих могу обосновать только риторическим вопросом: куда ж меньше?!

Для полноты картины, а также в ознаменование завершения юбилейного тура приведу триангуляции Ариадны:

…и мою:

Обсуждение

Трудная дистанция утомила марафонцев. На ММ200 было прислано наименьшее в 20-м туре число ответов. Тем удивительнее, что именно побила рекорд Марафона по разнообразию: пять присланных и один авторский ответ оказались попарно различны! (Точнее, наименьшие искомые n у меня и Олега совпали, но при разных триангуляциях и разных T(n)). Наименьшие найденные участниками значения n, начиная с которых T(n)/n достигает 4, оказались равными 20, 18, 15, 14 и, наконец, 12.

Трудность задачи в том, что ряд T(n) не получается путем добавления на каждом шаге новой прямой к предыдущей конфигурации, а строится значительно сложнее. Ясно, конфигурация тем лучше, чем больше точек пересечения образуют рассекающие прямые внутри (в крайнем случае на границе) треугольника. Для этого надо избегать параллельности рассекающих прямых, их пресечения вне треугольника, пересечения многих прямых в одной точке. (Менее понятно лишь, как совместить это с сохранением треугольности всех фигур разбиения.) С этих позиций преимущества решения Анатолия видны сразу. Только ему удалось избежать параллельности рассекающих прямых, и только у него ни в одной точке не пересекаются более трех рассекающих прямых.

Удивление, граничащее с шоком, вызвал у меня тот факт, что я (а судя по присланным решениям, не только я) не смог найти в сети задач, в которых возникает последовательность T(n). Естественность постановки задачи вступает в явное противоречие с ее нераскрученностью.

Награды

При распределении призовых баллов учтено, что только у Анатолия Казмерчука присутствует обоснование оптимальности решения. (Впрочем, было бы странно, если бы в других решениях была обоснована их оптимальность.) За решение задачи ММ200 участники получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 14;
Олег Полубасов - 10;
Виктор Филимоненков - 7;
Сергей Половинкин - 6;
Ариадна - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_200]]

marathon/problem_200.txt · Последние изменения: 2014/11/30 14:33 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006