Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ213

Конкурсная задача ММ213 (4 балла)

1. Пусть H = {h1, h_2,…, hf} , где f - количество граней, а hi - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?
2. Пусть gi означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все gi не превышать 2?

Решение

Приведу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Игоря Ханова:

Решение Игоря Ханова

1. Рассмотрим грань с наибольшим количеством сторон и обозначим это количество через n. К этой грани прилегает ровно n других и их общее количество n+1 ≤ f . Это значит, что все элементы множества H удовлетворяют неравенству 3 ≤ hi ≤ f-1 . Следовательно, H содержит не более f-1-3+1=f-3 элементов и f-|H| ≥ 3 . Данная оценка достигается, например, для треугольной призмы.

2. Да, могут. Для примера возьмем пятиугольную пирамиду и разрежем ее плоскостью, проходящей через ребро основания. Гранями нижней части будут служить два треугольника, два четырехугольника и два пятиугольника. (Также здесь можно добавить, что из первого пункта следует тот факт, что все gi не могут не превышать 1, поскольку тогда бы f-|H|=0 ).

Обсуждение

Задача ММ213 практически не вызвала затруднений у участников. Но, все же, одно затруднение было. Не все сразу поняли смысл обозначения |H|. Отмечу также, что некоторые участники прошли мимо очевидного обоснования соотношения f-|H| > 2 и, как нормальные герои, пошли в обход.

Награды

За правильное решение задачи ММ213 и получение некоторых дополнительных оценок Анатолий Казмерчук получает 8 призовых баллов, Олег Полубасов - 7 призовых баллов, а Владислав Франк - 5 призовых баллов. За правильное решение ММ213 Василий Дзюбенко, Игорь Ханов, Владимир Чубанов, Виктор Филимоненков, Владимир Дорофеев и Дмитрий Пашуткин получают 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_213]]

marathon/problem_213.txt · Последние изменения: 2016/10/02 13:13 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006