Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ232

Конкурсная задача ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина, Василия Дзюбенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: «Будем искать решение в виде…». Другая: «Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность». Правда, была еще и третья группа: «Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида…». Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых. А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны.

Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия. Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей «Арифметики» Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, «доказательство») Великой теоремы своего имени. Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.

Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо тройки (9n3-1, 9n4-3n, 9n4\right) приводилась тройка (33k-1, 34k-2-3k, 34k-2).
Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись, что равенство (6t3 + 36t2 + 72t + 49)3 - 2 = (6t3 + 36t2 + 72t + 47)3 + (6t2 + 6t + 24)3 не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на (6t2 + 24t + 24)3 получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2. В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников. Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a3, i=2a3, i=4+9k тривиальны, а более интересные вопросы:
разрешимо ли уравнение при i=3?
исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n2, 6n3-1, 6n3+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?
входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n3-1, 9n4-3n, 9n4), в какие-то другие серии или являются спорадическими?
остались без ответов.

Награды

За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Евгений Гужавин - 6; Анатолий Казмерчук - 6; Юрий Варламов - 6; Владимир Чубанов - 6; Валентина Колыбасова - 6; Виктор Филимоненков - 6; Василий Дзюбенко - 6; Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_232]]

marathon/problem_232.txt · Последние изменения: 2018/09/23 19:08 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006