Конкурсная задача ММ252 (3 балла)

Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;
90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p^kq (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Дениса Овчинникова.

Обсуждение

На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений, чем на ММ251
И это вопреки тому, что добавилось два новых участника: один относительно новый (в рамках текущего конкурса), а другой - новый участник Марафона в целом.
Некоторые из «пропавших» (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При том, что задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, проблема в нахождении одного подходящего примера.
В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады, проводимой «здесь и сейчас». Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.

Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.
Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел p^kq, при p > 2. Правда, в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть «темное пятно». Но, возможно, доказательство можно довести до ума. Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится.

Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. Полагаю, что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения.

Награды

За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 5
Олег Полубасов - 5
Денис Овчинников - 5
Виктор Филимоненков - 4
Василий Дзюбенко - 4
Владислав Франк - 4
Константин Шамсутдинов - 4
Валентин Пивоваров - 1.

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла