Конкурсная задача ММ217 (6 баллов)

Диагонали AC₁ и BD₁ шестигранника ABCDA₁B₁C₁D₁, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука, Дмитрия Пашуткина, Владислава Франка и Василия Дзюбенко.

Обсуждение

Мои ожидания отчасти сбылись. Некоторые из марафонцев, не приславших ответов на ММ216, вернулись на дистанцию. Но не все. И если некоторые из «невозвращенцев» приучили меня к такому их поведению, выпадая по ходу и из предыдущих конкурсов, то от других я этого не ожидал.

Отмечу момент, не сформулированный явно ни в одном из решений. Если любые две диагонали нашего шестигранника пересекаются, то все они пересекаются в одной точке. Если же пересекаются лишь две или четыре пары диагоналей, то все точки пересечения различны.

Замечу также (ни в коем случае не претендуя на откровение), что два случая (прямые AB и C₁D₁ пересекаются либо параллельны), рассматриваемые большинством участников, с проективной точки зрения являют собой один случай.

Награды

За решение и обобщение задачи ММ217 участникам начислены следующие призовые баллы:
Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 7;
Владислав Франк, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин и Василий Дзюбенко - по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла